Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán 2026

PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

(12 câu)

Câu 1

1đ

Cho cấp số cộng $(u_n)$ thỏa mãn các điều kiện sau: $\left\{\begin{aligned}&u_3 + u_8 = 22 \\ &u_4 + u_{6} = 18 \end{aligned}\right.$ . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

2

-3

-7

4

Câu 2

1đ

Một công ty khảo sát mức lương hàng tháng của các nhân viên (đơn vị: triệu đồng). Kết quả khảo sát được ghi lại ở bảng sau:

Mức lương	Số nhân viên
$[10;15)$	$15$
$[15;20)$	$40$
$[20;25)$	$25$
$[25;30)$	$12$
$[30;35)$	$8$

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

20

15

30

25

Câu 3

1đ

Họ nguyên hàm của hàm số $y=2^{x}$ là

\dfrac{2^{x}}{\ln 2}+C

\ln {{3.2}^{x}}+C

\dfrac{2^{x}}{x+1}+C

2^{x}+C

Câu 4

1đ

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{u} = (-2; 1; 4)$ và $\overrightarrow{v} = 3\overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k}$ . Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{x}$ thỏa mãn $\overrightarrow{x} + \overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{v}$ là

(4; 1; 0)

(5; -1; -6)

(8; -5; -4)

(8; -1; -8)

Câu 5

1đ

Tập nghiệm của bất phương trình $\Big(\dfrac{1}{7}\Big)^{x^2 + 2x} \ge \dfrac{1}{343}$ là

[-3; 1]

(-3; 1)

[-1; 3]

(-\infty; -3] \cup [1; +\infty)

Câu 6

1đ

Cho hai hàm số $f(x), g(x)$ liên tục trên đoạn $[0; 2]$ thỏa mãn $\displaystyle\int\limits_{0}^{2}{f(x )\mathrm{d}x}=-2$ và $\displaystyle\int\limits_{0}^{2}{g(x )\mathrm{d}x}=4$ . Giá trị của $\displaystyle\int\limits_{0}^{2}[ 4f(x )+3g(x )]\mathrm{d}x$ bằng

-4

20

-20

4

Câu 7

1đ

Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ khác vectơ-không. Biết độ dài hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ lần lượt bằng $4$ và $6$ , đồng thời $\overrightarrow{a}$ ngược hướng với $\overrightarrow{b}$ . Giá trị của $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ bằng

-24

24

-10

10

Câu 8

1đ

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ (tham khảo hình vẽ bên dưới).

Khẳng định nào sau đây là đúng?

2\overrightarrow{SO } - \overrightarrow{SD} + \overrightarrow{CD}=\overrightarrow {SC}

2\overrightarrow{SO } - \overrightarrow{SD} + \overrightarrow{CD}=\overrightarrow {SB}

2\overrightarrow{SO } - \overrightarrow{SD} + \overrightarrow{CD}=\overrightarrow {AB}

2\overrightarrow{SO } - \overrightarrow{SD} + \overrightarrow{CD}=\overrightarrow {SA}

Câu 9

1đ

Đường tiệm cận xiên của đồ thị của hàm số $y=\dfrac{x^2-3x+1}{x}$ là

x=0

y=x+3

y=x-3

y=2

Câu 10

1đ

Trong không gian $Oxyz$ , điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng $d:\dfrac{x+1}{-1}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z-1}{3}$ ?

N(-1;3;2)

Q(1;-2;-1)

M(1;2;1)

P(-1;2;1)

Câu 11

1đ

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ.

Bảng biến thiên

Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

(-1;2)

(-1;+\infty)

(-3;5)

(-\infty;-1)

Câu 12

1đ

Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ . Biết hình chiếu vuông góc của đỉnh $A'$ trên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trung điểm $M$ của cạnh $BC$ và $AA' = a\sqrt{3}$ (tham khảo hình vẽ bên dưới).

Góc giữa hai đường thẳng $AM$ và $CC'$ bằng

30^\circ

60^\circ

45^\circ

90^\circ

PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

(4 câu)

Câu 13

1đ

Cho hàm số $y=\dfrac{2x-10}{x-1}$ có đồ thị $(C)$ .

(Nhấp vào ô màu vàng để chọn đúng / sai)

a) Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
b) Gọi $A$ và $B$ lần lượt là giao điểm của $(C)$ với $Ox$ và $Oy$ . Khi đó $AB=5$ (đơn vị độ dài).
c) Số điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị $(C)$ là $8$ .
d) Gọi $I$ là giao điểm của đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của $(C)$ . $P$ là một điểm bất kì thuộc $(C)$ , $Q$ là giao điểm của đường thẳng $PI$ và $(C)$ . Dựng hình vuông $PMQN$ . Giá trị nhỏ nhất của diện tích hình vuông $PMQN$ là $8 \sqrt2$ (đơn vị diện tích).

Câu 14

1đ

Một công ty xây dựng hệ thống giám sát môi trường tại khu công nghiệp với hai cảm biến không dây được đặt cố định tại hai vị trí $A, B$ trong không gian ba chiều để thu thập dữ liệu. Để đảm bảo kết nối, công ty thiết lập một quỹ đạo quét tín hiệu có dạng mặt cầu $(S)$ . Quỹ đạo này có thể thay đổi kích thước và vị trí nhưng được lập trình để luôn đi qua cả hai cảm biến $A$ và $B$ . Đồng thời, để tối ưu hóa năng lượng và tránh nhiễu sóng từ lòng đất, mặt cầu quỹ đạo này phải luôn tiếp xúc với mặt đất. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , tọa độ các điểm là $A(3;5;-2)$ , $B(1;3;2)$ và mặt đất được mô tả bằng mặt phẳng $(P): x+y-2z+9=0$ . Trong quá trình mô phỏng, điểm tiếp xúc giữa vùng phủ sóng và mặt đất (gọi là $C$ ) thay đổi.

Mặt cầu

(Nhấp vào ô màu vàng để chọn đúng / sai)

a) $\overrightarrow{AB}=(2;2;-4)$ .
b) $\overrightarrow{AB} \perp (P)$ .
c) Giao điểm của đường thẳng $AB$ với $(P)$ là điểm $M \Big(-\dfrac12; \dfrac32; 5 \Big)$ .
d) Kỹ sư cần xác định khoảng cách từ gốc tọa độ $O(0,0,0)$ đến điểm tiếp xúc $C$ để đánh giá mức độ ảnh hưởng từ vị trí đặt thiết bị. Điểm $C$ luôn thuộc một đường tròn cố định có bán kính $\dfrac{3 \sqrt{7}}{2}$ .

Câu 15

1đ

Để đánh giá năng suất của hai giống lúa mới, một trung tâm khuyến nông đã trồng thử nghiệm giống lúa A và giống lúa B trên nhiều thửa ruộng có diện tích bằng nhau. Năng suất thu hoạch (đơn vị: tạ/ha) được thống kê lại trong bảng sau:

Năng suất (tạ/ha)	Giống lúa A (thửa ruộng)	Giống lúa B (thửa ruộng)
$[50;70)$	$4$	$2$
$[70;90)$	$10$	$6$
$[90;110)$	$16$	$20$
$[110;130)$	$8$	$10$
$[130;150)$	$2$	$2$

(Nhấp vào ô màu vàng để chọn đúng / sai)

a) Tổng số thửa ruộng trồng thử nghiệm giống lúa A và giống lúa B là bằng nhau.
b) Đối với giống lúa A, số thửa ruộng đạt năng suất từ $90$ tạ/ha đến dưới $110$ tạ/ha là nhiều nhất.
c) Nếu người nông dân cần chọn một giống lúa có năng suất ổn định để canh tác an toàn, thì dựa vào phương sai, giống lúa A là sự lựa chọn tốt hơn.
d) Khoảng tứ phân vị đo lường sự phân tán của $50\%$ số thửa ruộng có năng suất ở mức giữa. Mức độ biến động của nhóm này ở giống lúa A là $28$ tạ/ha.

Câu 16

1đ

Cho tứ diện đều $A B C D$ có cạnh bằng $a$ . Gọi $G$ là trọng tâm của tứ diện và $I, \, J$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $A B, \, C D$ (tham khảo hình vẽ bên dưới).

$Cho tứ diện đều $A B C D$ có cạnh bằng $a$. Gọi $G$ là trọng tâm của tứ diện và $I, \, J$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $A B, \, C D$$

(Nhấp vào ô màu vàng để chọn đúng / sai)

a) $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC}=0$ .
b) $\overrightarrow{I J}=\dfrac{1}{2}\Big(\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{B C}\Big)$ .
c) Độ dài đoạn thẳng $I J$ bằng $\dfrac{a \sqrt{2}}{2}$ .
d) Tập hợp các điểm $M$ trong không gian thỏa mãn hệ thức $\Big\|\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}+\overrightarrow{M D}\Big\|= 2\Big\|\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{B C}\Big\|$ là một mặt cầu có bán kính $R=a \sqrt{2}$ .

PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

(6 câu)

Câu 17

1đ

Cho hình chóp $S.A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$ , $AB=BC=a$ , $AD=2a$ , $SC$ vuông góc với mặt phẳng đáy và góc giữa $SB$ và $(ABCD)$ bằng $30^\circ$ . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $CD$ và $SB$ bằng $\dfrac{m a \sqrt{5}}{n}$ với $m, \,n$ là các số nguyên dương và $\dfrac{m}{n}$ là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức $P=2m+5n$ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Câu 18

1đ

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị đo trên mỗi trục là mét), mặt phẳng $(Oxy)$ biểu diễn mặt đất bằng phẳng, một chiếc trực thăng cứu hộ đang thực hiện nhiệm vụ thì nhận được lệnh hạ cánh khẩn cấp. Trực thăng hiện đang ở vị trí $A(2\,000 ; 1\,000 ; 2\,000)$ và cần hạ cánh tại một vị trí an toàn trên mặt đất. Do khu vực ngay bên dưới có địa hình nguy hiểm không thể đáp thẳng xuống, phi công buộc phải điều khiển trực thăng bay lướt đi để nhanh chóng tiếp cận một bãi đáp an toàn ở xa, đồng thời kết hợp hạ độ cao. Tại khu vực bay đang có gió tạt rất mạnh và di chuyển với vận tốc là một vectơ không đổi $\overrightarrow{v}=(10 ;-10 ; 0)$ (đơn vị: m/s) (tham khảo hình vẽ bên dưới).

Phi công phải duy trì công suất động cơ để tốc độ bay của trực thăng đối với không khí luôn đạt mức tối đa là $60$ m/s. Mức tiêu hao nhiên liệu trung bình của trực thăng (đã tính cả các hao phí cản gió) là $0,055$ lít cho mỗi giây hoạt động. Biết rằng quá trình di chuyển thực tế của trực thăng là kết quả tổng hợp của sức gió tạt và lực đẩy chủ động từ động cơ. Theo quy chuẩn an toàn hàng không, để tránh va đập mạnh làm hỏng thân vỏ, phi công phải điều khiển sao cho trực thăng mất ít nhất $20$ giây để hạ được mỗi $100$ mét độ cao. Để đảm bảo an toàn và tiết kiệm lượng nhiên liệu còn lại, hệ thống dẫn đường đã thiết lập một quỹ đạo bay thẳng từ $A$ đến điểm chạm đất sao cho thời gian bay là ngắn nhất. Trong trường hợp này, trực thăng sẽ tiêu thụ ít nhất bao nhiêu lít nhiên liệu cho quá trình hạ cánh?

Trả lời:

Câu 19

1đ

Một tấm bìa hình vuông có cạnh bằng $50$ cm. Ta cắt một hình chữ nhật từ hình vuông và một hình tròn tiếp xúc với hai cạnh của hình chữ nhật còn lại (xem hình vẽ).

Hình tròn và hình chữ nhật

Giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích của hình chữ nhật và hình tròn bị cắt là bao nhiêu cm²(không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị)?

Trả lời:

Câu 20

1đ

Nam có một bộ gồm $9$ thẻ bài được đánh số từ $1$ đến $9$ . Đức cũng có một bộ gồm $9$ thẻ bài được đánh số từ $0$ đến $8$ . Hai bạn chơi một trò chơi gồm đúng $20$ ván đấu. Trong mỗi ván đấu, hai bạn thực hiện theo quy tắc sau: Mỗi người chọn ngẫu nhiên $2$ thẻ từ bộ của mình, ghép thành số tự nhiên có hai chữ số lớn nhất có thể, sau đó trả lại $2$ thẻ đó vào bộ của mình. Ban tổ chức quy định cách xác định thắng thua và quy tắc thưởng như sau: Nam là người thắng nếu số của Nam lớn hơn số của Đức. Ngược lại, Nam sẽ thua nếu số của Nam không lớn hơn số của Đức. Ban đầu mỗi bạn được chương trình tặng $100$ điểm, mỗi ván người thắng được cộng $1$ điểm và người thua bị trừ $1$ điểm. Xác suất để sau $20$ ván đấu, Nam hơn Đức đúng $12$ điểm là bao nhiêu? (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười).

Trả lời:

Câu 21

1đ

Cúm A là bệnh nhiễm trùng đường hô hấp cấp tính do các virus cúm mùa gây nên. Virus cúm A có thể lây truyền trực tiếp trong không khí thông qua đường hô hấp. Giả sử virus cúm A có khả năng lây nhiễm đối với người ngồi trong vòng bán kính $2$ m là $90\%$ và đối với người ngồi cách hơn $2$ m là $5\%$ . An là một học sinh bị nhiễm cúm A nhưng bản thân không hay biết nên vẫn đi thi cuối kỳ. Phòng thi của An có $20$ thí sinh được xếp vào $20$ chỗ ngồi của một phòng thi có $4$ hàng dọc, $5$ hàng ngang. Khoảng cách giữa hai người liên tiếp theo hàng ngang là $1, \, 5$ m, theo hàng dọc là $1, \, 2$ m. Do không biết trước An bị cúm A nên các thí sinh được xếp ngẫu nhiên vào phòng thi. Chọn ngẫu nhiên một bạn cùng phòng thi với An. Xác suất để bạn đó bị lây nhiễm cúm A từ $An$ bằng bao nhiêu? (Không làm tròn các kết quả trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm.)

Trả lời:

Câu 22

1đ

Một xưởng chế tác thủ công thiết kế một mẫu bình hoa pha lê để bàn cỡ nhỏ có dạng khối tròn xoay. Khi cắt dọc chiếc bình bởi một mặt phẳng chứa trục đối xứng, ta được một thiết diện có viền ngoài và viền trong đều là các đường elip. Biết rằng, chiếc bình có chiều cao tổng cộng là $14$ cm. Mặt ngoài của bình có đường kính miệng là $8$ cm, đường kính đáy là $6$ cm và đường kính phần bụng phình to nhất bằng $10$ cm. Phần lòng rỗng bên trong bình có đường kính phần bụng phình to nhất bằng $8$ cm và có tâm nằm trên trục đối xứng đồng thời cao hơn tâm của mặt ngoài đúng $1$ cm.

Để đảm bảo độ vững chãi và tạo trọng lực giữ cho bình không bị lật khi cắm cành hoa vươn dài, phần đáy bình được đúc bằng pha lê đặc có độ dày là $2$ cm (tính từ mặt đáy ngoài đến điểm thấp nhất của lòng trong).

Thể tích khối pha lê cần thiết để tạo ra chiếc bình trên bằng bao nhiêu cm³ (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị)?

Trả lời:

Bài học liên quan

PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Báo lỗi

Tải đề xuống