Toán 10 Kết nối tri thức với cuộc sống

Bài 1. Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Bài tập Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn (SGK)

Đăng nhập

Bài tập Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn (SGK)

Câu 1

1đ

Hệ nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Kiểm tra xem bộ ba số $(2 ; \, 0 ; \, -1)$ có phải là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không.

a) $\begin{cases}x-2z=4 \\ 2x+y-z=5 \\ -3x+2y=-6\end{cases}$

b) $\begin{cases}x-2y+3z=7 \\ 2x-y^2+z=2 \\ x+2y=-1\end{cases}$

Trả lời:

⚡Hệ là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn.

⚡Bộ ba số $(2 ; \, 0 ; \, -1)$ nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó.

Câu 2

1đ

Câu 1:

Hoàn thành bài giải hệ phương trình $\begin{cases}2x-y-z=20 \\ x+y=-5 \\ x=10\end{cases}$ .

Từ phương trình cuối, ta có $x=10$ .

Thay $x=10$ vào phương trình thứ hai, ta được $+y=-5$ .

Suy ra $y=$ .

Thay $x, \, y$ vừa tìm được vào phương trình đầu, ta được: $2 \cdot$ $-$ $-z=20.$

Suy ra $z=$ .

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: $(x ; \, y ; \, z)=($ ;; $)$ .

Câu 2:

Giải hệ phương trình $\begin{cases}x-y-3z=20 \\ x-z=3 \\ x+3z=-7\end{cases}$ .

(Nhấp vào ô màu vàng để chọn đúng / sai)

a) Trừ từng vế phương trình thứ ba cho phương trình thứ hai, ta tìm được $z=-\dfrac52$ .
b) Thay $z$ vừa tìm được vào phương trình thứ hai, ta tìm được $x=-\dfrac12$ .
c) Thay $x, \, z$ vừa tìm được vào phương trình đầu tiên, ta tìm được $y=-12$ .
d) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x ; \, y ; \, z)=\Big( \dfrac{1}{2} ; \, -12 ; \, -\dfrac{5}{2} \Big)$ .

Câu 3

1đ

Câu 1:

Giải hệ phương trình $\begin{cases} 2x-y-z=2 \\ x+y=3 \\ x-y+z=2 \end{cases}$ thông qua xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

(Nhấp vào ô màu vàng để chọn đúng / sai)

a) Để khử ẩn $x$ ở phương trình thứ hai, ta nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ với $(-1)$ , nhân hai vế của phương trình thứ hai với $2$ rồi cộng theo từng vế tương ứng.
b) Để khử ẩn $x$ ở phương trình thứ ba, ta nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ với $(-1)$ , nhân hai vế của phương trình thứ ba với $-2$ rồi cộng theo từng vế tương ứng.
c) Nhân hai vế của phương trình thứ ba với $3$ , cộng theo từng vế tương ứng với phương trình thứ hai, ta được hệ phương trình tương đương dạng tam giác: $\begin{cases} 2x-y-z=2 \\ 3y+z=4 \\ 10z=10 \end{cases}$ .
d) Nghiệm của hệ phương trình đã cho là $(x;\, y;\, z)=(2;\, -1;\, 1)$ .

Câu 2:

Giải hệ phương trình $\begin{cases} 3x-y-z=2 \\ x+2y+z=5 \\ -x+y=2 \end{cases}$ thông qua xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

(Nhấp vào ô màu vàng để chọn đúng / sai)

a) Để khử ẩn $x$ ở phương trình thứ hai, ta nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ với $(-1)$ , nhân hai vế của phương trình thứ hai với $3$ rồi cộng theo từng vế tương ứng.
b) Để khử ẩn $x$ ở phương trình thứ ba, ta nhân hai vế của phương trình thứ ba của hệ với $3$ rồi cộng theo từng vế tương ứng với phương trình thứ nhất.
c) Nhân hai vế của phương trình thứ ba với $4$ , cộng theo từng vế tương ứng với phương trình thứ hai, ta được hệ phương trình tương đương dạng tam giác: $\begin{cases} 3x-y-z=2 \\ 7y+4z=13 \\ 15y=45 \end{cases}$ .
d) Nghiệm của hệ phương trình là $(x;\, y;\, z)=(1;\, 3;\, -2)$ .

Câu 3:

Giải hệ phương trình $\begin{cases} x-3y-z=-6 \\ 2x-y+2z=6 \\ 4x-7y=-6 \end{cases}$ thông qua xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

(Nhấp vào ô màu vàng để chọn đúng / sai)

a) Để khử ẩn $x$ ở phương trình thứ hai, ta nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ với $2$ rồi cộng với phương trình thứ hai theo từng vế tương ứng.
b) Để khử ẩn $x$ ở phương trình thứ ba, ta nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ với $(-4)$ rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng.
c) Hệ thu được ở câu b) có hệ tương đương dạng hình thang.
d) Hệ đã cho vô nghiệm.

Câu 4:

Giải hệ phương trình $\begin{cases} x-3y-z=-6 \\ 2x-y+2z=6 \\ 4x-7y=3 \end{cases}$ thông qua xét tính đúng sai

(Nhấp vào ô màu vàng để chọn đúng / sai)

a) Để khử ẩn $x$ ở phương trình thứ hai, ta nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ với $(-2)$ rồi cộng với phương trình thứ hai theo từng vế tương ứng, ta được hệ phương trình: (đã )
b) Để khử ẩn $x$ ở phương trình thứ ba, ta nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ với $4$ rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng.
c) Từ hai phương trình cuối, suy ra đẳng thức luôn đúng.
d) Hệ ban đầu vô nghiệm.

Câu 5:

Giải hệ phương trình $\begin{cases} 3x-y-7z=2 \\ 4x-y+z=11 \\ -5x-y-9z=-22 \end{cases}$ thông qua xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

(Nhấp vào ô màu vàng để chọn đúng / sai)

a) Để khử $x$ ở phương trình thứ hai, ta nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ với $(-4)$ , nhân hai vế của phương trình thứ hai với $3$ rồi cộng theo từng vế tương ứng.
b) Để khử $x$ ở phương trình thứ ba, ta nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ với $5$ , nhân hai vế của phương trình thứ ba với $3$ rồi cộng theo từng vế tương ứng.
c) Nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ với $8$ rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng, ta được hệ phương trình tương đương dạng tam giác: $\begin{cases} 3x-y-7z=2 \\ y+25z=25 \\ 138z=144 \end{cases}$ .
d) Hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Câu 6:

Giải hệ phương trình $\begin{cases} 2x-3y-4z=-2 \\ 5x-y-2z=3 \\ 7x-4y-6z=1 \end{cases}$ thông qua xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

(Nhấp vào ô màu vàng để chọn đúng / sai)

a) Để khử ẩn $x$ ở phương trình thứ hai, ta nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ với $(-5)$ , nhân hai vế của phương trình thứ hai với $2$ rồi cộng theo từng vế tương ứng.
b) Để khử ẩn $x$ ở phương trình thứ ba, ta nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ với $(-7)$ , nhân hai vế của phương trình thứ ba với $2$ rồi cộng theo từng vế tương ứng.
c) Hệ tương đương với hệ thu được sau câu b) có dạng hình thang.
d) Hệ đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của hệ là $S=\Big\{\Big(\dfrac{11+2z}{13};\, \dfrac{16-16z}{13};\, z\Big)\mid z\in\mathbb{Z}\Big\}$ .

Câu 4

1đ

Ba người cùng làm việc cho một công ty với vị trí lần lượt là quản lí kho, quản lí văn phòng và tài xế xe tải. Tổng tiền lương hằng năm của người quản lí kho và người quản lí văn phòng là $164$ triệu đồng, còn của người quản lí kho và tài xế xe tải là $156$ triệu đồng. Mỗi năm, người quản lí kho lĩnh lương nhiều hơn tài xế xe tải $8$ triệu đồng. Hỏi lương hằng năm của mỗi người là bao nhiêu?

Trả lời:

⚡Quản lí kho: triệu đồng.

⚡Quản lí văn phòng: triệu đồng.

⚡Tài xế xe tải: triệu đồng.

Câu 5

1đ

Năm ngoái, người ta có thể mua ba mẫu xe ô tô của ba hãng $X, Y, Z$ với tổng số tiền là $2,8$ tỉ đồng. Năm nay, do lạm phát, để mua ba chiếc xe đó cần $3,018$ tỉ đồng. Giá xe ô tô của hãng $X$ tăng $8\%$ , của hãng $Y$ tăng $5\%$ và của hãng $Z$ tăng $12\%$ . Nếu trong năm ngoái giá chiếc xe của hãng $Y$ thấp hơn $200$ triệu đồng so với giá chiếc xe của hãng $X$ thì giá của mỗi chiếc xe trong năm ngoái là bao nhiêu?

Trả lời:

⚡X: triệu đồng

⚡Y: triệu đồng

⚡Z: triệu đồng

Câu 6

1đ

Tự luận

Cho hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn sau $\begin{cases}a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \\ a_3x+b_3y+c_3z=d_3\end{cases}$ .

a) Giả sử $(x_0 ; \, y_0 ; \, z_0)$ và $(x_1 ; \, y_1 ; \, z_1)$ là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình trên.

Chứng minh rằng $\Big( \dfrac{x_0+x_1}{2} ; \, \dfrac{y_0+y_1}{2} ; \, \dfrac{z_0+z_1}{2} \Big)$ cũng là một nghiệm của hệ.

b) Sử dụng kết quả của câu a) chứng minh rằng, nếu hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có hai nghiệm phân biệt thì nó sẽ có vô số nghiệm.