Bài tập cuối chương (SGK)

Câu 1

1đ

Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \sqrt{n^2 + 1} - n$ . Mệnh đề đúng là

\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty

.

\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = 0

.

\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty

.

\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = 1

.

Câu 2

1đ

Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{2 + 2^2 + \dots + 2^n}{2^n}$ . Giới hạn của dãy số $(u_n)$ bằng

0

.

1

.

-1

.

2

.

Câu 3

1đ

Cho cấp số nhân lùi vô hạn $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{2}{3^n}$ . Tổng của cấp số nhân này bằng

6

.

3

.

2

.

1

.

Câu 4

1đ

Cho hàm số $f(x) = \sqrt{x+1} - \sqrt{x+2}$ . Mệnh đề đúng là

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = -1

.

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0

.

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = -\dfrac{1}{2}

.

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty

.

Câu 5

1đ

Cho hàm số $f(x) = \dfrac{x - x^2}{|x|}$ . Khi đó $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x)$ bằng

+\infty

.

0

.

-1

.

1

.

Câu 6

1đ

Cho hàm số $f(x) = \dfrac{x + 1}{|x + 1|}$ . Hàm số $f(x)$ liên tục trên

(-\infty; -1]

.

(-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)

.

[-1; +\infty)

.

(-\infty; +\infty)

.

Câu 7

1đ

Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 + x - 2}{x - 1} & \, \mathrm{nếu} \, x \ne 1 \\ a & \, \mathrm{nếu} \, x = 1 \end{cases}$ . Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 1$ khi

a = 0

.

a = -1

.

a = 1

.

a = 3

.

Câu 8

1đ

Cho dãy số $(u_n)$ có tính chất $|u_n - 1| \lt \dfrac{2}{n}$ . Giá trị của $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n$ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Câu 9

1đ

Câu 1:

Giới hạn của dãy số $u_n = \dfrac{n^2}{3n^2 + 7n - 2}$ là

-\dfrac{1}{2}

.

0

.

\dfrac{1}{2}

.

\dfrac{1}{3}

.

Câu 2:

Tính giới hạn của dãy số $v_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dfrac{3^k + 5^k}{6^k}$ .

Trả lời:

Câu 3:

Tính giới hạn của dãy số $w_n = \dfrac{\sin n}{4n}$ .

Trả lời:

Câu 10

1đ

Câu 1:

Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn $1,(01)$ dưới dạng phân số tối giản ta được

\dfrac{100}{99}

.

\dfrac{101}{100}

.

\dfrac{10}{9}

.

\dfrac{101}{99}

.

Câu 2:

Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn $5,(132)$ dưới dạng phân số tối giản ta được

\dfrac{5\,127}{1\,000}

.

\dfrac{1\,708}{333}

.

\dfrac{5\,132}{999}

.

\dfrac{1\,709}{333}

.

Câu 11

1đ

Tính các giới hạn sau:

Câu 1:

$\displaystyle \lim_{x \to 7} \dfrac{\sqrt{x + 2} - 3}{x - 7}$ bằng

\dfrac{1}{6}

.

\dfrac{2}{3}

.

-\dfrac{1}{7}

.

\dfrac{2}{7}

.

Câu 2:

$\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^3 - 1}{x^2 - 1}$ bằng bao nhiêu? (Nhập kết quả dưới dạng phân số tối giản a/b hoặc số thập phân)

Trả lời:

Câu 3:

$\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{2 - x}{(1 - x)^2}$ bằng bao nhiêu?

Giới hạn bằng .

Câu 4:

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x + 2}{\sqrt{4x^2 + 1}}$ bằng bao nhiêu? (Nhập kết quả dưới dạng số thập phân)

Trả lời:

Câu 12

1đ

Tính các giới hạn một bên sau:

Câu 1:

$\displaystyle \lim_{x \to 3^+} \dfrac{x^2 - 9}{|x - 3|}$ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Câu 2:

$\displaystyle \lim_{x \to 1^-} \dfrac{x}{\sqrt{1 - x}}$ bằng

+\infty

.

1

.

0

.

-\infty

.

Câu 13

1đ

Hoàn thành chứng minh giới hạn $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{|x|}{x}$ không tồn tại:

Ta có: $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \dfrac{|x|}{x} = \displaystyle \lim_{x \to 0^+} \dfrac{x}{x} =$ ;

Và $\displaystyle \lim_{x \to 0^-} \dfrac{|x|}{x} = \displaystyle \lim_{x \to 0^-} \dfrac{-x}{x} =$ .

Do đó, giới hạn $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{|x|}{x}$ không tồn tại.

Câu 14

1đ

Câu 1:

Hàm số $f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{x} & \, \mathrm{nếu} \, x \ne 0 \\ 1 & \, \mathrm{nếu} \, x = 0 \end{cases}$ gián đoạn tại điểm $x = 0$ vì lí do nào sau đây?

\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) \ne f(0)

.

Không tồn tại giới hạn

\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)

.

Hàm số không xác định tại

x = 0

.

\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = 0

.

Câu 2:

Hàm số $g(x) = \begin{cases} 1 + x & \, \mathrm{nếu} \, x \lt 1 \\ 2 - x & \, \mathrm{nếu} \, x \ge 1 \end{cases}$ gián đoạn tại điểm $x = 1$ vì lí do nào sau đây?

Giới hạn bên trái và giới hạn bên phải tại

x = 1

không bằng nhau.

\displaystyle \lim_{x \to 1} g(x) \ne g(1)

.

Cả giới hạn bên trái và bên phải tại

x = 1

đều không tồn tại.

Hàm số không xác định tại

x = 1

.

Câu 15

1đ

Lực hấp dẫn tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách $r$ tính từ tâm Trái Đất là:

$F(r) = \begin{cases} \dfrac{GMr}{R^3} & \, \mathrm{nếu} \, r \lt R \\ \, & \, \\ \dfrac{GM}{r^2} & \, \mathrm{nếu} \, r \ge R \end{cases}$

trong đó $M$ và $R$ lần lượt là khối lượng và bán kính của Trái Đất, $G$ là hằng số hấp dẫn. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

(Nhấp vào ô màu vàng để chọn đúng / sai)

a) Hàm số liên tục trên các khoảng $(-\infty; R)$ và $(R; +\infty)$ .
b) Giới hạn của hàm số khi $r \to R^-$ là $\displaystyle \lim_{r \to R^-} F(r) = \dfrac{GM}{R^2}$ .
c) Hàm số $F(r)$ gián đoạn tại $r = R$ .
d) Hàm số $F(r)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ .

Câu 16

1đ

Câu 1:

Hàm số $f(x) = \dfrac{\cos x}{x^2 + 5x + 6}$ liên tục trên tập nào sau đây?

\mathbb{R} \setminus \{-2; -3\}

.

\mathbb{R} \setminus \{2; 3\}

.

(-\infty; -3) \cup (-2; +\infty)

.

\mathbb{R}

.

Câu 2:

Hàm số $g(x) = \dfrac{x - 2}{\sin x}$ liên tục trên tập nào sau đây?

\mathbb{R} \setminus \{2\}

.

\mathbb{R} \setminus \{k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}

.

\mathbb{R}

.

\mathbb{R} \setminus \Big\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\Big\}

.

Câu 17

1đ

Tìm các giá trị của tham số $a$ để hàm số $f(x) = \begin{cases} x + 1 & \, \mathrm{nếu} \, x \le a \\ x^2 & \, \mathrm{nếu} \, x > a \end{cases}$ liên tục trên $\mathbb{R}$ bằng cách xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

(Nhấp vào ô màu vàng để chọn đúng / sai)

a) Hàm số luôn liên tục trên các khoảng $(-\infty; a)$ và $(a; +\infty)$ với mọi số thực $a$ .
b) $\displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x) = a + 1$ và $\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) = a^2$ .
c) Hàm số liên tục tại điểm $x = a$ khi và chỉ khi $a^2 - a - 1 = 0$ .
d) Có hai giá trị của $a$ thoả mãn yêu cầu bài toán là $a = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}$ và $a = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$ .

Bài học liên quan

Báo lỗi