Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT Cauchy=Schwarz ta có:
\(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\Rightarrow x+y+z\le\sqrt{3}\)
Ta lại có:\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\forall x,y,z\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)-2\left(xy+yz+zx\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(\Rightarrow A\le\sqrt{3}+1\)
Dấu '=' xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Em làm lại,cách này mà còn sai nữa thì em xin hàng ạ! Dù sao đi nữa cũng xin mọi người chịu khó góp ý giúp em để em càng ngày càng tiến bộ hơn nữa ạ! Thanks all !
*Tìm min
Đặt p = x + y + z; q = xy + yz + zx thì \(x^2+y^2+z^2=p^2-2q=1\Rightarrow q=\frac{p^2-1}{2}\)
Suy ra \(A=p+q=p+\frac{p^2-1}{2}=\frac{p^2+2p-1}{2}\)
\(=\frac{p^2+2p+1-2}{2}=\frac{\left(p+1\right)^2-2}{2}\ge-\frac{2}{2}=-1\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là -1.
Dấu "=" xảy ra khi (x;y;z) = (0;0;-1) (chỗ này em không biết giải rõ thế nào nữa :v)
*Tìm max
Ta có BĐT sau: \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\le x^2+y^2+z^2\)
Suy ra \(q\le\frac{p^2}{3}\le p^2-2q=1\) suy ra \(\hept{\begin{cases}q\le p^2-2q=1\\p^2\le3\left(p^2-2q\right)\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}q\le1\\p\le\sqrt{3\left(p^2-2q\right)}=\sqrt{3}\end{cases}}\)
Suy ra \(A=p+q\le\sqrt{3}+1\)
với mọi x, y, z ta có:
(x-y)^2 +(y-z)^2+ (z-x)^2>=0
<=>2x^2 +2y^2 + 2z^2 - 2xy -2yz - 2xz >=0
<=>x^2 + y^2 +z^2 - xy -yz -zx >=0
<=>(x+y+z)^2 >= 3(x+y+z)
<=>[(x+y+z)^2]/3 >= xy+yz+ zx
=>xy +yz + zx <=3
dấu = xảy ra khi x=y=z =1
ai tích mình tích lại nhưng phải lên điểm mình tích gấp đôi
\(P=\frac{xy}{z+1}+\frac{yz}{x+1}+\frac{xz}{y+1}\)
\(P=\frac{xy}{\left(x+z\right)+\left(y+z\right)}+\frac{yz}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}+\frac{xz}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)}\)
\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{xy}{x+z}+\frac{xy}{y+z}+\frac{yz}{x+y}+\frac{yz}{x+z}+\frac{xz}{x+y}+\frac{xz}{y+z}\right)\)
\(P\le\frac{1}{4}\left(x+y+z\right)=\frac{1}{4}\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
\(A=\left(x^2-yz\right)\left(y^2-zx\right)\left(z^2-xy\right)=\sqrt{\left(x^2-yz\right)\left(y^2-zx\right)}.\sqrt{\left(y^2-zx\right)\left(z^2-xy\right)}.\sqrt{\left(z^2-xy\right)\left(x^2-yz\right)}\)Giả sử \(x^2\ge yz;y^2\ge zx;z^2\ge xy\)
Theo Cosi ta có :
\(\sqrt{\left(x^2-yz\right)\left(y^2-zx\right)}\le\frac{x^2-yz+y^2-zx}{2}\)
\(\sqrt{\left(y^2-zx\right)\left(z^2-xy\right)}\le\frac{y^2-zx+z^2-xy}{2}\)
\(\sqrt{\left(z^2-xy\right)\left(x^2-yz\right)}\le\frac{z^2-xy+x^2-yz}{2}\)
Cộng theo vế ta được :
\(A\le\frac{x^2-yz+y^2-zx+y^2-zx+z^2-xy+z^2-xy+x^2-yz}{2}=\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(xy+yz+zx\right)\)
\(=1-\left(xy+yz+zx\right)\le1-\left(x^2+y^2+z^2\right)=1-1=0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z=\frac{1}{3}\) hoặc \(x=y=z=\frac{-1}{3}\) ( thỏa mãn giả sử )
Chúc bạn học tốt ~
PS : ko chắc :v
Có: \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2\ge0\\\left(y-z\right)^2\ge0\\\left(z-x\right)^2\ge0\end{cases}}\)\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2xz+x^2\ge0\)
\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz\ge0\)
\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)\ge0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\ge0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz-3xy-3yz-3xz\ge0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\ge3xy+3yz+3xz\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Rightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\ge xy+yz+xz\)
\(\Rightarrow xy+yz+xz\le\frac{3^2}{3}=3\)
=> \(P_{min}=xy+yz+xz=3\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Vậy ...................
Cái này tìm max thì được chứ min sợ là không có
Bài của bạn Trà My cũng là max chứ không phải min đâu
al
lii chuan la max
Để mình xem lại đề ạ
tìm max ạ, mình viết nhầm :D