Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chọn đáp án C.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB.
Đáp án C.
Ta có B C ⊥ A B ; B C ⊥ S A nên B C ⊥ S A B .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB.
Khi đó A H ⊥ S B C và d A , S B C = A H .
Ta có góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng A B C D là góc S B A ^ .
Đặt S B A ^ = α .
Theo giả thiết ta có A B = a sin α ; S A = a cos α .
Thể tích khối chóp S.ABCD là V = 1 3 . S A . S A B C D = 1 3 sin 2 α cos α a 3 .
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có
sin 2 α . sin 2 α .2 cos 2 α ≤ sin 2 α + sin 2 α + 2 cos 2 α 3 3 = 8 27
Suy ra sin 2 α cos α ≤ 2 3 9 . Do đó V ≥ 3 2 a 3 .
Dấu bằng xảy ra khi sin 2 α = 2 cos 2 α ⇒ cos α = 1 3 .
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 2 a 3 khi cos α = 1 3 .
Suy ra V 0 = 3 2 a 3 ; p = 1, q = 3
⇒ T = p + q V 0 = 2 3 a 3 .
Đáp án C
Phương pháp: Thể tích khối chóp V = 1 3 S d . h : h là chiều cao của khối chóp, S là diện tích đáy.
Phương pháp xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng chính là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(a,a,0),\ D(0,a,0),\ S(0,0,h)$.
Góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ và đáy $(ABCD)$ là $60^\circ$ nên:
- Vector pháp tuyến mặt phẳng đáy: $\vec{n}_0 = (0,0,1)$
- Vector pháp tuyến mặt phẳng $(SBC)$: $\vec{n}_1$ vuông góc với $(SBC)$, đi qua $B,C,S$.
- Góc $\theta$ giữa mặt phẳng: $\sin \theta = \frac{|\text{chiều cao từ S tới BC}|}{|\vec{SB} \times \vec{SC}| / |BC|}$
Nhận thấy mặt phẳng $(SBC)$ là tam giác vuông tại $S$ vì $SA \perp (ABCD)$, và góc với đáy $60^\circ$.
Chiều cao $h$ tính theo $a$:
$\sin 60^\circ = \frac{h}{\sqrt{a^2 + h^2}} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{\sqrt{a^2 + h^2}}$
$\Rightarrow 3(a^2 + h^2) = 4 h^2 \Rightarrow 3 a^2 + 3 h^2 = 4 h^2 \Rightarrow h^2 = 3 a^2 \Rightarrow h = a \sqrt{3}$
Thể tích khối chóp:
$V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot a\sqrt{3} = \frac{a^3 \sqrt{3}}{3}$
Chọn B. $a^3 \sqrt{3}/3$
Đáp án C.