1.

Hàm tuần hoàn với chu kì \(2\pi\) nên ta chỉ cần xét trên đoạn \(\left[0;2\pi\right]\)

\(y'=\frac{-4}{\left(cosx-2\right)^2}.sinx=0\Leftrightarrow x=k\pi\)

\(\Rightarrow x=\left\{0;\pi;2\pi\right\}\)

\(y\left(0\right)=-3\) ; \(y\left(\pi\right)=\frac{1}{3}\) ; \(y\left(2\pi\right)=-3\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}M=\frac{1}{3}\\m=-3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow9M+m=0\)

2.

\(\Leftrightarrow y.cosx+y.sinx+2y=2k.cosx+k+1\)

\(\Leftrightarrow y.sinx+\left(y-2k\right)cosx=k+1-2y\)

Theo điều kiện có nghiệm của pt lượng giác bậc nhất:

\(\Rightarrow y^2+\left(y-2k\right)^2\ge\left(k+1-2y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2y^2-4k.y+4k^2\ge4y^2-4\left(k+1\right)y+\left(k+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2y^2-4y-3k^2+2k+1\le0\)

\(\Leftrightarrow2\left(y-1\right)^2\le3k^2-2k+1\)

\(\Leftrightarrow y\le\sqrt{\frac{3k^2-2k+1}{2}}+1\)

\(y_{max}=f\left(k\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{3k^2-2k+1}+1\)

\(f\left(k\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{3\left(k-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{2}{3}}+1\ge\frac{1}{\sqrt{3}}+1\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(k=\frac{1}{3}\)

Đáp án A

1/ ĐKXĐ: \(\cos2x\ne0\)

\(\frac{\cos4x}{\cos2x}=\frac{\sin2x}{\cos2x}\)\(\Leftrightarrow\cos4x-\sin2x=0\)

\(\Leftrightarrow2\cos^22x-1-\sin2x=0\)

\(\Leftrightarrow2-2\sin^22x-1-\sin2x=0\)

\(\Leftrightarrow2\sin^22x+\sin2x-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sin2x=\frac{1}{2}=\sin\frac{\pi}{6}\\\sin2x=-1=\sin\frac{-\pi}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\\2x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\\2x=\frac{-\pi}{2}+2k\pi\left(l\right)\\2x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{12}+k\pi\\x=\frac{5\pi}{12}+k\pi\end{matrix}\right.\)

2/ \(\sin2.4x+\cos4x=1+2\sin2x.\cos\left(2x+4x\right)\)

\(\Leftrightarrow2\sin4x.\cos4x+\cos4x=1+2\sin2x.\left(\cos2x.\cos4x-\sin2x.\sin4x\right)\)

\(\Leftrightarrow2\sin4x.\cos4x+\cos4x=1+2\sin2x.\cos2x.\cos4x-2\sin^22x.\sin4x\)

\(\Leftrightarrow2\sin4x.\cos4x+\cos4x=1+\sin4x.\cos4x-\sin4x+\cos4x.\sin4x\)

Đến đây bn tự giải nốt nhé, lm kiểu bthg thôi bởi vì đã quy về hết sin4x và cos4x r

\(2\cos^2x+\left(3-2m\right)\cos x=2-m\)

\(t=\cos x\Rightarrow t\in\left[-1;1\right]\)

\(\Delta=\left(3-2m\right)^2-4.2\left(m-2\right)=4m^2-12m+9-8m+16=4m^2-20m+25=\left(2m-5\right)^2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=\frac{2m-3-2m+5}{4}\\t=\frac{2m-3+2m-5}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=\frac{1}{2}\\t=m-2\end{matrix}\right.\)

\(t=\frac{1}{2}\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{3}+k2\pi\\x=-\frac{\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\left(tm\right)\)

Vậy để có 3 nghiệm thuộc khoảng (-pi/2;pi) thì pt còn lại cần 1 nghiệm nữa khác 2 nghiệm kia cũng thuộc khoảng (-pi/2;pi)

Xét hàm cos: \(t=m-2\) trong \(\left(-\frac{\pi}{2};\pi\right)\)

Nhìn vô bbt ta thấy \(-1< t< 0\) thì phương trình có 1 nghiệm

\(\Rightarrow-1< m-2< 0\Leftrightarrow1< m< 2\)

1<=m<=2