Câu 1: 

Đỉnh của đths \((\frac{-b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a})=(\frac{-b}{4},\frac{8c-b^2}{8})=(-1;0)\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{-b}{4}=-1\\ \frac{8c-b^2}{8}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=4\\ 8c=b^2=16\end{matrix}\right.\Leftrightarrow b=4; c=2\)

Câu 2:
ĐTHS đi qua 3 điểm $A, B,C$ nên:
\(\left\{\begin{matrix} -1=a.0^2+b.0+c\\ -1=a.1^2+b.1+c\\ 1=a(-1)^2+b(-1)+c\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} c=-1\\ a+b+c=-1\\ a-b+c=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} c=-1\\ a=1\\ b=-1\end{matrix}\right.\)

Đỉnh là I(1;-1)

=>\(\begin{cases}-\frac{b}{2a}=1\\ -\frac{b^2-4ac}{4a}=-1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b=-2a\\ b^2-4ac=4a\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}b=-2a\\ \left(-2a\right)^2-4ac=4a\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b=-2a\\ 4a^2-4ac=4a\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}b=-2a\\ 4a\left(a-c\right)=4a\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b=-2a\\ a-c=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b=-2a\\ c=a-1\end{cases}\)

Thay x=2 và y=0 vào (P), ta được:

\(a\cdot2^2+b\cdot2+c=0\)

=>4a+2b+c=0

=>4a+2*(-2a)+a-1=0

=>a-1=0

=>a=1

=>b=-2a=-2; c=a-1=1-1=0

Vậy: Chọn C

a.

Do (P) đi qua F, thay tọa độ F vào phương trình (P) ta được:

\(a.0^2+b.0+c=5\Rightarrow c=5\)

Do (P) có đỉnh \(I\left(3;-4\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{b}{2a}=3\\a.3^2+b.3+c=-4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-6a\\9a+3b+5=-4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-6a\\9a+3.\left(-6a\right)=-9\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=-6\end{matrix}\right.\)

hay pt (P) có dạng: \(y=x^2-6x+5\)

b. Em tự giải

Từ điều kiện đề bài: (hiển nhiên a khác 0):

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4ac-b^2}{4a}=-1\\a-b+c=7\\c=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a-b^2=-4a\\a-b=6\\c=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-6\right)^2-8a=0\\b=a-6\\c=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\left\{2;18\right\}\\b=a-6\\c=1\end{matrix}\right.\)

Có 2 parabol thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}y=2x^2-4x+1\\y=18x^2+12x+1\end{matrix}\right.\)

Đỉnh của (P) là I(2;-3)

=>\(\begin{cases}-\frac{b}{2a}=2\\ -\frac{b^2-4a\cdot1}{4a}=-3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b=-4a\\ b^2-4a=12a\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}b=-4a\\ \left(-4a\right)^2-4a-12a=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}16a^2-16a=0\\ b=-4a\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}16a\left(a-1\right)=0\\ b=-4a\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a-1=0\\ b=-4a\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a=1\\ b=-4\cdot1=-4\end{cases}\)

a: Theo đề, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}a-2+c=0\\4a+c+4=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+c=2\\4a+c=-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-3a=-6\\a+c=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\c=0\end{matrix}\right.\)

Đỉnh là I(1;2)

=>\(\begin{cases}-\frac{b}{2a}=1\\ -\frac{b^2-4ac}{4a}=2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b=-2a\\ b^2-4ac=-8a\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}b=-2a\\ \left(-2a\right)^2-4ac=-8a\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b=-2a\\ 4a^2-4ac=-8a\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}b=-4a\\ 4a\left(a-c\right)=-8a\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b=-4a\\ a-c=-2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b=-4a\\ c=a+2\end{cases}\)

THay x=2 và y=3 vào (P), ta được:

\(a\cdot2^2+b\cdot2+c=3\)

=>4a+2b+c=3

=>4a+2*(-4a)+a+2=3

=>4a-8a+a+2=3

=>-3a=1

=>\(a=-\frac13\)

\(b=-4a=-4\cdot\frac{-1}{3}=\frac43\)

\(c=a+2=-\frac13+2=\frac53\)

Vì parabol đi qua \(I\left(-2;1\right)\) nên \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b}{2a}=2\\-\dfrac{\Delta}{4a}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a-b=0\\b^2-4ac-4a=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=4a\\16a^2-4ac-4a=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=4a\\4a-c=1\left(a\ne0\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=4a\\4a=1+c\end{matrix}\right.\)

Mà parabol cắt \(y=x-1\) tại 1 điểm trên trục tung nên \(x=0\Leftrightarrow y=1\)

\(\Leftrightarrow c=1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2}\\b=2\end{matrix}\right.\)

Vậy parabol là \(y=\dfrac{1}{2}x^2+2x+1\)