Xét \(M\left(0;m\right)\in Oy\). Đường thẳng d đi qua M, hệ số góc k có phương trình : \(y=kx+m\)

d là tiếp tuyến \(\Leftrightarrow\begin{cases}x^4-2x^2-1=kx+m\\4x^3-4x=k\end{cases}\) có nghiệm

Thế k vào phương trình thứ nhất, ta được :

\(-x^4-2x^2-1=4x^4-4x^2+m\)

\(\Leftrightarrow5x^4-2x^2+1+m=0\) (*)

Để từ M ta có thể kẻ đến đồ thị đúng 3 tiếp tuyến \(\Leftrightarrow\) (*) có 3 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow m+1=0\Leftrightarrow m=-1\)

Khi đó (*) có 3 nghiệm \(x=0;x=\pm\sqrt{\frac{2}{5}}\) và 3 tiếp tuyến đó là :

\(y=-1;y=\pm\sqrt{\frac{2}{5}}x-1\)

Vậy \(M\left(0;-1\right)\) là điểm cần tìm

Giao điểm của đồ thị hàm số (C) và trục tung là điểm N(0;1)

Ta có : \(f'\left(x\right)=\frac{3}{\left(1-x\right)^2}\) suy ra tiếp tuyến  tại điểm N là \(\left(\Delta\right):y=3x+1\Leftrightarrow\left(\Delta\right):3x-y+1=0\)

Xét điểm \(M\left(a+1;\frac{2a+3}{-a}\right)\in\left(C\right),a>0\)

Ta có : \(d_{M\\Delta }=\frac{\left|3\left(a+1\right)+\frac{2a+3}{a}+1\right|}{\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}.\frac{3a^2+6a}{+3a}=\frac{3}{\sqrt{10}}\left(a+\frac{2}{a}+1\right)\ge\frac{3}{\sqrt{10}}\left(2\sqrt{2}+1\right)\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=\frac{2}{a}\Leftrightarrow a=\sqrt{2}\Rightarrow M\left(\sqrt{2}+1;\frac{2\sqrt{2}+5}{-\sqrt{2}}\right)\)

y = 2x² + 2mx + m -1 (C_m). Đây là hàm số bậc hai, đồ thị là parabol quay bề lõm lên phía trên.

a) m = 1 ⇒ y = 2x² + 2x

Tập xác định D = R

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}y\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}=+\infty\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

b) Tổng quát y = 2x² + 2mx + m -1 có tập xác định D = R

.

Suy ra y’ > 0 với \(x>-\dfrac{m}{2}\)  và \(y'< 0\)  với \(x< -\dfrac{m}{2}\) tức là hàm số nghịch biến trên \(\left(-\infty;\dfrac{-m}{2}\right)\) và đồng biến trên \(\left(-\dfrac{m}{2};+\infty\right)\)

i) Để hàm số đồng biến trên khoảng (-1, +∞) thì phải có điều kiện
Hay  \(-\dfrac{m}{2}< -1\)\(\Leftrightarrow m>2\)

ii) Hàm số đạt cực trị tại  \(x=\dfrac{m}{2}\)

Để hàm số đạt cực trị trong khoảng (-1, +∞), ta phải có:

\(-\dfrac{m}{2}\in\left(-1;+\infty\right)\) hay \(-\dfrac{m}{2}>-1\Leftrightarrow m< 2\).

c) (C_m) luôn cắt Ox tại hai điểm phân biệt 

⇔ phương trình 2x² + 2mx + m – 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt.

Ta có:

Δ’ = m² – 2m + 2 = (m-1)² + 1 > 0 ∀m

Vậy (C_m) luôn cắt O x tại hai điểm phân biệt.

a) Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{2x+1}{2x-1}\) và \(y=x+2\) là nghiệm của phương trình :

\(\dfrac{2x+1}{2x-1}=x+2\Leftrightarrow\dfrac{2x+1}{2x-1}-x-2=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-2x^2-x+3}{2x-1}=0\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2x^2-x+3=0\\x\ne\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\x=-\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

Với \(x=1\) thì \(y=1+2=3;x=-\dfrac{3}{2}\) thì \(y=-\dfrac{3}{2}+2=\dfrac{1}{2}\)

Vậy tọa độ hai giao điểm là \(A\left(1;3\right),B\left(-\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)

a) . Tập xác định : R {} ;

và ;

Do đó hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

b) Tiệm cận đứng ∆ : x = .

A(-1 ; ) ∈ ∆ ⇔ = -1 ⇔ m = 2.

c) m = 2 => .

nên từ đồ thị (C) ta suy ra ngay đồ thị của hàm số :

\(y=\left|\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{3x^2}{2}+\dfrac{5x}{2}\right|\) là hình 18