Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(B=\frac{2}{x^2-y^2}\cdot\sqrt{\frac{9\left(x^2+2xy+y^2\right)}{4}}=\frac{2}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}\cdot\sqrt{\frac{9\left(x+y\right)^2}{4}}\)
\(=\frac{2}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}\cdot\frac{\sqrt{9\left(x+y\right)^2}}{\sqrt{4}}=\frac{2}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}\cdot\frac{3\left(x+y\right)}{2}\)(vì x > -y <=> x + y > 0)
\(=\frac{3}{x-y}\)
\(C=\sqrt{\frac{2a}{3}}.\sqrt{\frac{3a}{8}}=\sqrt{\frac{2a}{3}\cdot\frac{3a}{8}}=\sqrt{\frac{6a^2}{24}}=\sqrt{\frac{a^2}{4}}=\frac{a}{2}\)(vì a > = 0)
\(D=\frac{1}{a-b}\cdot\sqrt{a^4\left(a-b\right)^2}=\frac{1}{a-b}\cdot a^2\left(a-b\right)=a^2\)(a > b > 0)
câu cuối điều kiện là a>b
\(\frac{1}{a-b}\sqrt{a^4\left(a-b\right)^2}=\frac{a^2\left|a-b\right|}{a-b}=\frac{a^2\left(a-b\right)}{a-b}=a^2\) (vì a>b)
a)Áp dụng BĐT B.C.S:(1^2+1^2)(x^2+y^2)>=(1.x+1.y)^2>>>2(x^2+y^2)>=(x+y)^2.Sau đó chia 2 ở cả 2 vế.
Áp dụng BĐT Cô-si:(x+y)>=2√xy >>>>(x+y)^2/2>=2xy(đpcm)
b)a^2+1/(a^2+1)=a^2+1+1/(a^2+1)-1>=2-1=1(BĐT Cô-si)
c)a^2+b^2>=2ab suy ra (a^2+b^2)c>=2abc,tương tự rồi cộng lại là >=6abc nhé
d)ab/a+b<=(a+b)^2/4(a+b)(cm ở câu a)=(a+b)/4
Tương tự cộng lại được ab/a+b+bc/b+c+ca/c+a<=(a+b+b+c+c+a)/4=(a+b+c)/2(đpcm)
Theo AM-GM , có :
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\)
Nhân vế theo vế :
\( \left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge4\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
a, Đặt \(\sqrt[4]{a}=x;\sqrt[4]{b}=y.\)Bất đẳng thức ban đầu trở thành: \(\frac{2x^2y^2}{x^2+y^2}\le xy.\)
ta có : \(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow\frac{2x^2y^2}{x^2+y^2}\le\frac{2x^2y^2}{2xy}=xy.\)(đpcm )
dấu " = " xẩy ra khi x = y > 0
vậy bất đăng thức ban đầu đúng. dấu " = " xẩy ra khi a = b >0
Với \(x,y>0\). Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:
\(x^4+y^2\ge2x^2y\)
\(\Rightarrow x^4+y^2+2xy^2\ge2x^2y+2xy^2=2xy\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^4+y^2+2xy^2}\le\frac{1}{2xy\left(x+y\right)}\)(đpcm)
BĐT Vasc cơ bản:
Cho các số dương \(abc=1\) thì:
\(\sum\frac{1}{a^2+a+1}\ge1\)
Chứng minh:
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{yz}{x^2}\\b=\frac{xz}{y^2}\\c=\frac{xy}{z^2}\end{matrix}\right.\) thì BĐT trở thành:
\(\sum\frac{x^4}{x^4+x^2yz+y^2z^2}\ge1\Rightarrow\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^4+y^4+z^4+x^2yz+y^2xz+z^2xy+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}\ge1\)
Nhân chéo và thực hiện khai triển:
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2y^2z^2+2x^2z^2\)
Sau đó rút gọn ta được:
\(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\ge x^2yz+y^2xz+z^2xy\)
BĐT trên chính là dạng \(a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)
Vậy BĐT đã được chứng minh xong
Giải pt:
\(\left(x+4\right)\sqrt{x+2}=x^3-x^2-x-5\)
Như cách giải chung của casio, đầu tiên tìm ĐKXĐ và sau đó chuyển hết về 1 vế (nên chuyển vế sao cho số mũ cao nhất có hệ số dương), ví dụ ở đây ta có \(x\ge-2\) và chuyển hết sáng vế phải được:
\(x^3-x^2-x-5-\left(x+4\right)\sqrt{x+2}=0\)
Chọn mode-7, (nhớ shift-mode-đi xuống-chọn 5 là (x) trước) nhập \(f\left(X\right)=X^3-X^2-X-5-\left(X+4\right)\sqrt{X+2}\) rồi bấm "="
Start chọn -2, end cho 10 đi, step chọn 0.5 bấm "=" và sau đó dò cột f(X), theo lý thuyết, nếu f(X) đổi dấu tại khu vực nào thì khu vực đó có nghiệm bội lẻ, nếu f(X) âm và tăng, sau đó giảm nhưng vẫn âm, hoặc dương và giảm, sau đó tăng nhưng vẫn dương, thì có thể có nghiệm bội chẵn.
Ở đây, ở khu vực x từ 3 đến 3.5 ta thấy f(x) đổi dấu nên nó có nghiệm duy nhất thuộc khu vực này
Sau đó thoát mode-7 bằng cách bấm mode-1
Tiếp tục nhập hàm (bằng nút đỏ anpha) và sử dụng tính năng SOLVE:
Nhập: \(X^3-X^2-X-5-\left(X+4\right)\sqrt{X+2}\)
Rồi Shift+calc (nằm ngay dưới nút shift)
Máy hỏi solve for X, ta chọn 1 giá trị ở khu vực quanh miền nghiệm (bên trên thấy có nghiệm từ 3 đến 3.5 nên chọn đại 1 giá trị nào đó quanh đấy, ví dụ 3.4 chẳng hạn) rồi bấm "="
Rồi, nó solve cho ta 1 nghiệm xinh hơn cả thị Nở, không vấn đề, ta xử lý người đẹp này bằng cách bấm tiếp shift+RCL (nút trên số 7) + A (phím dấu âm), thấy báo \(Ans\rightarrow A\) là được
Tiếp tục chọn mode-7, bây giờ ta cần tìm liên hợp cho \(\sqrt{x+2}\) (hay tổng quát là \(\sqrt{ax+b}\)) bằng nghiệm vừa tìm được
Ở f(X), nhập \(\sqrt{aA+b}+AX\), như bài này là \(f\left(X\right)=\sqrt{A+2}+AX\)
Bấm "=", start -5, end 5, step chọn 1
Dò xuống cột f(X), chỗ nào thấy giá trị nguyên là được
Thấy \(f\left(X\right)=-1\) tại \(x=-1\), vậy thì ta suy ra:
\(\sqrt{A+2}-A=-1\Leftrightarrow\sqrt{A+2}-\left(A-1\right)=0\)
Nhớ rằng A chính là nghiệm máy tìm giúp ta ở trên, nên đây chính là biểu thức liên hợp cần tìm, nghĩa là ta phải liên hợp sao cho có xuất hiện: \(\sqrt{x+2}-\left(x-1\right)\)
Do trước biểu thức \(\sqrt{x+2}\) có \(x+4\) nên biểu thức cần tìm là:
\(\left(x+4\right)\left[\sqrt{x+2}-\left(x-1\right)\right]\)
Vậy bài toán được liên hợp như sau:
\(x^3-x^2-x-5-\left(x+4\right)\left(x-1\right)-\left(x+4\right)\left[\sqrt{x+2}-\left(x-1\right)\right]=0\)
Một ví dụ khác:
Giải pt: \(\sqrt{5x^2-5x+3}-\sqrt{7x-2}+4x^2-6x+1=0\)
Vẫn mode-7 và nhập hàm, start 0 end 10 step 0.5 (thật ra \(x\ge\frac{2}{7}\) nhưng chọn 1 giá trị nhỏ hơn ĐKXĐ 1 chút cũng được ko sao, nó xuất hiện vài chữ error thôi ko cần quan tâm)
f(X) đổi dấu 1 lần duy nhất tại khu vực từ 1 đến 1.5
Chọn mode-1 rồi nhập hàm vế trái sau đó shift solve với x=1.4 ta lại được 1 nghiệm xấu kinh hồn
gán nó vào biến A bằng shift+RCL+A
Mode 7, lần này ta thử 2 lần cho 2 biến:
Lần 1, nhập \(f\left(X\right)=\sqrt{5A^2-5A+3}+AX\)
Start -10; end 10; step 1 (bước này làm thống nhất ở start-end-step đi)
.....
Sau khi dò xong và tìm ra liên hợp cho \(\sqrt{5x^2-5x+3}\) , nhấn AC 2 lần rồi nhập \(f\left(X\right)=\sqrt{7A-2}+AX\) và tiếp tục quy trình
....
Rồi, tự làm bài trên đến hết và thử 1 bài:
\(15x^2-x-5-2\sqrt{x^2+x+1}=0\)
Nếu pt có 2 nghiệm:
Ví dụ đơn giản:
\(3x^2-8x+3-3\sqrt{x+1}=0\)
Mode 7 ta dò được luôn \(x=0;x=3\) khỏi cần ra ngoài tìm nghiệm (nhưng nếu chỉ tìm được khoảng nghiệm, ta vẫn ra ngoài solve nghiệm 2 lần như bình thường và gán lần lượt vào 2 biến A và B)
Do pt đã cho có 2 nghiệm, nên ta cần 1 nhân tử có dạng: \(\left(x-A\right)\left(x-B\right)\)
Có nghĩa ta cần 1 pt bậc 2 nhận A; B là nghiệm, vậy thì cần liên hợp \(\sqrt{ax+b}\) với \(cx+d\)
Lần lượt thay 2 nghiệm vào ta có hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}c.A+d=\sqrt{aA+b}\\cB+d=\sqrt{aB+b}\end{matrix}\right.\)
Ví dụ, ở bài trên cần tìm \(cx+d=\sqrt{x+1}\) ta có hệ:
\(\left\{{}\begin{matrix}3c+d=2\\0+d=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=1\\c=\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) Cần liên hợp \(\frac{x+3}{3}-\sqrt{x+1}\)
Vậy là xong
// Nếu A; B không đẹp thì sao:
Ta dùng casio thực hiện 2 phép tính: \(\left\{{}\begin{matrix}AB=n\\A+B=m\end{matrix}\right.\)
Nếu ra 2 kết quả đều hữu tỉ, thì theo Viet đảo, A và B là nghiệm:
\(x^2-mx+n=0\)
Đây cũng chính là nhân tử cần tìm của bài toán (từ đây sẽ suy ngược ra biểu thức cần liên hợp dễ dàng)
Nếu kết quả \(AB;A+B\) vẫn xấu như cũ, nghĩa là casio thất bại, cần giải bài toán theo 1 hướng đặc biệt (đặt ẩn phụ, đánh giá, hằng đẳng thức \(P^2+Q^2=0\) hoặc gì gì đó...)
Ví dụ:
\(2x^3-7x^2+11x=\left(7x-9\right)\sqrt{7x-10}\)
\(2x^2+5x-1=7\sqrt{x^3-1}\)