Câu hỏi của daim_09

Question

Với n không chia hết cho 3. Chứng minh: 5²ⁿ + 5ⁿ + 1 chia hết cho 31

Nguyễn Minh Đăng · Accepted Answer

Khá dễ khi ta dùng đồng dư !

Vì n không chia hết cho 3 nên ta xét 2 dạng của n $\hept{\begin{cases}n=3k+1\n=3k+2\end{cases}}\left(k\inℕ\right)$

Nếu $n=3k+1$ thay vào ta được:

$5^{2n}+5^n+1=5^{6k+2}+5^{3k+1}+1$

$=\left(5^3\right)^{2k}\cdot5^2+\left(5^3\right)^k\cdot5+1$

$=125^{2k}\cdot25+125^k\cdot5+1$

$\equiv1\cdot25+1\cdot5+1\equiv31\equiv0\left(mod31\right)$

=> Thỏa mãn

Nếu $n=3k+2$ thay vào ta được:

$5^{2n}+5^n+1=5^{6k+4}+5^{3k+2}+1$

$=\left(5^3\right)^{2k}\cdot5^4+\left(5^3\right)^k\cdot5^2+1$

$=125^{2k}\cdot625+125^k\cdot25+1$

$\equiv1\cdot5+1\cdot25+1\equiv31\equiv0\left(mod31\right)$

=> Thỏa mãn

Vậy với mọi n không chia hết cho 3 thì $5^{2n}+5^n+1$ chia hết cho 31

Câu trả lời:

Khá dễ khi ta dùng đồng dư !

Vì n không chia hết cho 3 nên ta xét 2 dạng của n $\hept{\begin{cases}n=3k+1\n=3k+2\end{cases}}\left(k\inℕ\right)$

Nếu $n=3k+1$ thay vào ta được:

$5^{2n}+5^n+1=5^{6k+2}+5^{3k+1}+1$

$=\left(5^3\right)^{2k}\cdot5^2+\left(5^3\right)^k\cdot5+1$

$=125^{2k}\cdot25+125^k\cdot5+1$

$\equiv1\cdot25+1\cdot5+1\equiv31\equiv0\left(mod31\right)$

=> Thỏa mãn

Nếu $n=3k+2$ thay vào ta được:

$5^{2n}+5^n+1=5^{6k+4}+5^{3k+2}+1$

$=\left(5^3\right)^{2k}\cdot5^4+\left(5^3\right)^k\cdot5^2+1$

$=125^{2k}\cdot625+125^k\cdot25+1$

$\equiv1\cdot5+1\cdot25+1\equiv31\equiv0\left(mod31\right)$

=> Thỏa mãn

Vậy với mọi n không chia hết cho 3 thì $5^{2n}+5^n+1$ chia hết cho 31