Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Hay thoi chứ để là \(a+b+c\le1\) đy, vì thấy ai cũng bảo đề sai nên sửa đề là vậy đi ạ '-'. Còn nếu pro nào là làm được cái đề gốc kia thì xin giải hộ em ạ T.T
Thầy tao làm như nào tao chép lại y nguyên nhá :)
Dự đoán điểm rơi a = b = c = 1/3
Áp dụng bất đẳng thức Cô si :
\(\frac{1}{a^2+2bc}+9\left(a^2+2bc\right)\ge2\sqrt{\frac{1}{a^2+2bc}\cdot9\left(a^2+2bc\right)}=6\)
TT : \(\frac{1}{b^2+2ac}+9\left(b^2+2ac\right)\ge2\sqrt{\frac{1}{b^2+2ac}\cdot9\left(b^2+2ac\right)}=6\)
\(\frac{1}{c^2+2ab}+9\left(c^2+2ab\right)\ge2\sqrt{\frac{1}{c^2+2ab}\cdot9\left(c^2+2ab\right)}=6\)
Cộng theo vế ta có :
\(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}+9\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)\ge18\)
<=> \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}+9\left(a+b+c\right)^2\ge18\)
<=> \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}+9\ge18\)
<=> \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge9\)( đpcm )
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1/3
Vì a, b, c > 0
=> a/b > 0 ; b/c > 0 ; c/a > 0
Áp dụng bđt Cauchy cho :
- Bộ số a/b, 1 ta được :
\(\frac{a}{b}+1\ge2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot1}=2\sqrt{\frac{a}{b}}\)(1)
- Bộ số b/c, 1
\(\frac{b}{c}+1\ge2\sqrt{\frac{b}{c}\cdot1}=2\sqrt{\frac{b}{c}}\)(2)
- Bộ số c/a, 1
\(\frac{c}{a}+1\ge2\sqrt{\frac{c}{a}\cdot1}=2\sqrt{\frac{c}{a}}\)(3)
Nhân (1), (2) và (3) theo vế
=> \(\left(\frac{a}{b}+1\right)\left(\frac{b}{c}+1\right)\left(\frac{c}{a}+1\right)\ge2\sqrt{\frac{a}{b}}\cdot2\sqrt{\frac{b}{c}}\cdot2\sqrt{\frac{c}{a}}=8\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}}=8\sqrt{\frac{abc}{abc}}=1\)
=> đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\) với \(x=a^2+2bc;y=b^2+2ac;z=c^2+2ab\)
Ta có : \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge9\)( Vì a + b + c = 1)
\(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{3^2}{\left(a+b+c\right)^2}=9\left(đpcm\right)\)
Sao lạ thế nhỉ, áp cái được luôn?
\(2a+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\ge3\sqrt[3]{2a.\frac{b}{a}.\frac{c}{b}}=3\sqrt[3]{2c}\)
Đẳng thức tự xét.
a,b,c khác nhau đôi một nghĩa là từng cặp số khác nhau ,là:
+a khác b
+b khác c
+c khác a
\(A=\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\)
Từ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0=>\frac{ab+bc+ac}{abc}=0=>ab+bc+ac=0\)
Suy ra: \(ab==-\left(bc+ac\right)=-bc-ac\)
\(bc=-\left(ab+ac\right)=-ab-ac\)
\(ac=-\left(ab+bc\right)=-ab-bc\)
Nên \(a^2+2ab=a^2+bc+bc=a^2+bc+\left(-ab-ac\right)=a\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\)
Tương tự,ta cũng có: \(b^2+2ac=\left(b-a\right)\left(b-c\right)\)
\(c^2+2ab=\left(c-a\right)\left(c-b\right)\)
Vậy \(A=\frac{1}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{1}{\left(b-c\right)\left(b-c\right)}+\frac{1}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=\frac{b-c+c-a+a-b}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}=0\)
Từ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)
=> \(\frac{ab+bc+ac}{abc}=0\)
=> \(ab+bc+ac=0\)
=> \(\hept{\begin{cases}ab=-bc-ac\\bc=-ab-ac\\ac=-ab-bc\end{cases}}\)
a) \(N=\frac{bc}{a^2+2bc}+\frac{ca}{b^2+2ac}+\frac{ab}{c^2+2ab}\)
\(=\frac{bc}{a^2-ab-ac+bc}+\frac{ca}{b^2-ab-bc+ac}+\frac{ab}{c^2-ac-bc+ab}\)
\(=\frac{bc}{a\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)}+\frac{ca}{b\left(b-a\right)-c\left(b-a\right)}+\frac{ab}{c\left(c-a\right)-b\left(c-a\right)}\)
\(=\frac{bc}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{ca}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\frac{ab}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)
\(=\frac{bc}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}-\frac{ca}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\frac{ab}{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)
\(=\frac{bc\left(b-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}-\frac{ca\left(a-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}+\frac{ab\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}\)
\(=\frac{b^2c-bc^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}-\frac{ca^2-c^2a}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}+\frac{ab\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}\)
\(=\frac{b^2c-bc^2-ca^2+c^2a+ab\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}\)
\(=\frac{\left(c^2a-bc^2\right)-\left(ca^2-b^2c\right)+ab\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}\)
\(=\frac{c^2\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)\left(a+b\right)+ab\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)\left(c^2-ac-bc+ab\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)\left[\left(ab-bc\right)-\left(ac-c^2\right)\right]}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}=\frac{\left(a-b\right)\left[b\left(a-c\right)-c\left(a-c\right)\right]}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}=1\)
b) \(P=\frac{a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2+2ac}+\frac{c^2}{c^2+2ab}\)
\(=\frac{a^2}{a^2-ab-ac+bc}+\frac{b^2}{b^2-ab-bc+ac}+\frac{c^2}{c^2-bc-ac+ab}\)
\(=\frac{a^2}{a\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)}+\frac{b^2}{b\left(b-a\right)-c\left(b-a\right)}+\frac{c^2}{c\left(c-b\right)-a\left(c-b\right)}\)
\(=\frac{a^2}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{b^2}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\frac{c^2}{\left(c-b\right)\left(c-a\right)}\)
\(=\frac{a^2}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}-\frac{b^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\frac{c^2}{\left(b-c\right)\left(a-c\right)}\)
\(=\frac{a^2\left(b-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}-\frac{b^2\left(a-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}+\frac{c^2\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}\)
\(=\frac{a^2b-a^2c}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}-\frac{b^2a-b^2c}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}+\frac{c^2\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}\)
\(=\frac{a^2b-a^2c-b^2a+b^2c+c^2\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}\)
\(=\frac{ab\left(a-b\right)-c\left(a^2-b^2\right)+c^2\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}=\frac{ab\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)\left(a+b\right)+c^2\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)\left(ab-ac-bc+c^2\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}=\frac{\left(a-b\right)\left[a\left(b-c\right)-c\left(b-c\right)\right]}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}=1\)
Chắc chắn giả thiết phải là \(a+b+c\le1\).
Áp dụng BĐT Schwars ta có \(VT\ge\frac{9}{a^2+2bc+b^2+2ca+c^2+2bc}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{9}{1^2}=9\).
Còn nếu \(a+b+c\ge1\) thì cho a = b = c = 10000 chẳng hạn sẽ sai.
Với x, y, z > 0 ta có BĐT:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\).
BĐT trên dễ dàng dc cm nhờ BĐT Côsi
Thật vậy, theo BĐT C-S thì:
\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz};\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}\).
Nhân vế với vế ta có:
\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\) (đpcm).
hình như đề sai rồi, thay a,b,c lần lượt là 1,2,3 ta thấy pt trên không \(\ge\) 9 được
Đề ghi vậy em chép lại vậy thoi chứ em cũng chả biết đề sai hay đúng nữa~
TRẦN MINH HOÀNG Pro cho em hỏi chỗ áp dụng BĐT cô si ấy ạ, sao ra được như vậy ạ, em mới học nên còn ngu ngơ lắm, mong bác giảng hộ em '-'
Hình như đề sai