Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: 1+1/2 +1/3 +...+1/98
=(1+1/98 )+(1/2 +1/97 )+(1/3 +1/96 )+...+(1/49 +1/50 )
=99/1.98 +99/2.97 +99/3.96 +...+99/49.50
=99(1/1.98 +1/2.97 +1/3.96 +...+1/49.50 )
⇒A=(1+1/2 +1/3 +...+1/98 ).2.3.4....98
=99(1/1.98 +1/2.97 +1/3.96 +...+1/49.50 ).2.3.4....98chia hết cho 99 (đpcm)
Bài 1:
a; Cho a/b < 1 và a; b; c ∈ N*
Ta có: \(\frac{a}{b}\) = 1 - \(\frac{b-a}{b}\)
\(\frac{a+c}{b+c}\) = 1 - \(\frac{b-a}{b+c}\)
Vì a;b; c ∈ N* và a < b nên
\(\frac{b-a}{b}\) > \(\frac{b-a}{b+c}\)
⇒ \(\frac{a}{b}\) < \(\frac{a+c}{b+c}\) (Hai phân số phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn)
Vậy Cho a/b < 1 và a; b; c ∈ N* thì: \(\frac{a}{b}\) < \(\frac{a+c}{b+c}\) (Đpcm)
Câu 3:
Để 15/7 và 35/19 nhân cùng với một phân số tự sẽ được một số tự nhiên thì tử số của phân số đó phải chia hết cho 7 và 19
7 = 7; 19 = 19. Mẫu số của phân số đó phải là Ước Chung lớn nhất của 15 và 35
BCNN(7; 19) = 7.19 = 133
Vì tử số là số tự nhiên nhỏ nhất nên nó phải là BCNN(7; 19) = 133
15 = 3.5; 35 = 5.7
ƯCLN(15; 35) = 5
Phân số cần tìm là: 133/5
Cầu 1:
\(\frac{a+b}{a^2+ab+b^2}=\frac{49}{1801}\)
Biến đổi ta có: \(\frac{a+b}{\left(a+b\right)^2-ab}=\frac{49}{1801}\)
Cứ cho a+b=49 thì
Thế a+b vào đẳng thức trên đc:
\(\frac{a+b}{2401-ab}=\frac{49}{1801}\)
Từ đó: ta có
\(\hept{\begin{cases}a+b=49\\ab=600\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=24\\b=25\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}b=24\\a=25\end{cases}}\)
Vậy phân số cần tìm là ........... (có 2 p/s nha)
Câu 2 Dễ mà ~~~~~~~
Làm biếng :3
Câu hỏi của Nguyễn Tuấn Minh - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
Bài 1 :
\(\frac{a}{b}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{9}+\)\(\frac{1}{10}\)
\(=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\right)\)
\(=\frac{13}{30}+\frac{13}{36}+\frac{13}{40}+\frac{13}{42}\)
\(=\frac{13.\left(84+70+63+60\right)}{2520}\)
\(=\frac{13.277}{2520}\)
Phân số \(\frac{13.277}{2520}\)tối giản nên \(a=13m\left(m\in Nsao\right)\)
Vậy a chia hết cho 13
Bài 2 :
Ta có : \(\frac{a}{b}+\frac{a'}{b'}=n\)trong đó a và b nguyên tố cùng nhau : \(a'\)và \(b'\)nguyên tố cùng nhau , \(a\in N\)
Suy ra :\(\frac{ab'+a'b}{bb'}=n\Leftrightarrow ab'+a'b=nbb'\)
Từ (1) ta có \(\left(ab'+a'b\right)⋮b\)mà \(a'b⋮b\)nên \(ab'⋮b\)nhưng a và b nguyên tố cùng nhau
Suy ra ;\(b'⋮b\left(2\right)\)
Tương tự ta cũng có \(b⋮b\left(3\right)\)
Từ (2 ) và (3 ) suy ra \(b=b'\)
Chúc bạn học tốt ( -_- )
Đặt \(A=\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}=\left(\frac{a+1}{b}+1\right)+\left(\frac{b+1}{a}+1\right)-2=\left(a+b+1\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)-2\)
Vì A có giá trị là một số tự nhiên nên \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\) phải có giá trị là số tự nhiên hay
\(\frac{a+b}{ab}\) là một số tự nhiên \(\Rightarrow\left(a+b\right)⋮ab\)
Vì d là ƯCLN(a,b) nên \(a=dm,b=dn\) \(\Rightarrow\begin{cases}a+b=d\left(m+n\right)\\ab=d^2mn\end{cases}\) (m,n thuộc N)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{d\left(m+n\right)}{d^2mn}=\frac{m+n}{dmn}\)
=> (m+n) chia hết cho dmn \(\Rightarrow m+n\ge d\)
\(\Rightarrow d\left(m+n\right)\ge d^2\) hay \(a+b\ge d^2\)
Bài 4:
Giải:
Theo bài ra ta có: \(\frac{a}{b}\) x \(\frac{14}{15}\) = n và \(\frac{a}{b}\) x \(\frac{21}{10}\) = m; (n ; m ∈ N*) khi đó:
(\(\frac{a}{b}\) x \(\frac{14}{15}\)) : (\(\frac{a}{b}\) x \(\frac{21}{10}\)) = \(\frac{n}{m}\) = \(\frac49\)
Vì (a; b) = 1 nên n = 4 và m = 9
Phân số thỏa mãn đề bài là: \(\frac{a}{b}=\) 4 : \(\frac{14}{15}\) = \(\frac{30}{7}\) \(\)
Kết luận phân số thỏa mãn đề bài là: \(\frac{30}{7}\)
Olm chào em. Đây là toán nâng cao chuyên đề phân số, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này như sau:
Bài 5:
Phân số nghịch đảo của phân số: \(\frac{6}{n}\) là: \(\frac{n}{6}\)
Nghịch đảo của phân số \(\frac{11}{n+7}\) là: \(\frac{n+7}{11}\)
Theo bài ra ta có: n ⋮ 6 và (n + 7) ⋮ 11
(n + 84) ⋮ 6 và (n + (7 + 77)) ⋮ 11
(n + 84) ⋮ 6 và (n + 84) ⋮ 11
(n + 84) ∈ BC(6; 11)
6 = 2.3; 11 = 11; BCNN(6; 11) = 2.3.11 = 66
(n + 84) ∈ B(66) = {0; 66; 132; 198;...}
n ∈ {-84; - 18; 48; 114;...}
Vì n là số tự nhiên bé nhất nên n = 48
Vậy n = 48
a/a+1 + a+1/a=a2+(a+1)2/a.(a+1)=a2/a2+(a+1)2/a=1+a2+(2a+1)/a=1+a+(2a+1)/a.
Do a thuộc N* nên a>=1.Nên 1+a+(2a+1)/a>2
Vậy a/a+1 + a+1/a>2
\(\frac{a}{a+1}+\frac{a+1}{a}=\frac{a^2+\left(a+1\right)^2}{a\left(a+1\right)}\)
\(=\frac{2a^2+2a+1}{a\left(a+1\right)}\)
\(=\frac{2a^2+2a}{a\left(a+1\right)}+\frac{1}{a\left(a+1\right)}\)
\(=\frac{2a\left(a+1\right)}{a\left(a+1\right)}+\frac{1}{a\left(a+1\right)}\)
\(=2+\frac{1}{a\left(a+1\right)}\)
Vì \(a\varepsilonℕ^∗\)nên \(2+\frac{1}{a\left(a+1\right)}>2\)
Vậy \(\frac{a}{a+1}+\frac{a+1}{a}>2\)
Đây là hệ quả của bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) áp dụng cho 2 số dương a,b
Lớp 8 mới hok đó nên c/m cũng phải theo cách lớp 8 sợ bạn ko hỉu -_- (hok 7 hằng đẳng thức đáng nhớ với quy tắc biến đổi bất phương trình rùi thì Ok)
giúp mik vs,đây là toán lớp 6,thầy cho bn tớ
a/b+ b/a = aa/ba+bb/ba=2a+2b.
Xét hiệu: a/b+b/a-2
=(a2+b2-2ab)/ab
=(a-b)2/ab
Vì (a-b)2>=0 với mọi a,b
và a>0,b>0 => ab>0
Nên (a-b)2/ab >=0 (lớn hơn hoặc bằng 0)
=> a/b+b/a-2 >=0
<=> a/b+b/a >= 2
=> ĐPCM
Dễ mà: Ta xét hiệu \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}-\frac{2ab}{ab}=\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\)
Mà \(\left(a-b\right)^2\ge0;ab\ge0\) do a,b là các STN khác 0
\(\Rightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\ge0\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge0\)
Giả sử a \(\ge\) b suy ra a = b + m ( m \(\inℕ\))
\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{b+m}{b}+\frac{b}{b+m}\)
\(=1+\frac{m}{b}+\frac{b}{b+m}\ge1+\frac{m}{b+m}+\frac{b}{b+m}=1+1=2\)
Vậy \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\left(đpcm\right)\)
Cái này lớp 8 mà. Bạn mơi shocj lớp 6 thì làm sao giải được
Gọi phân số dương là \(\frac{a}{b}\). Không mất tính tổng quát,giả sử a > 0 , b > 0 và \(a\ge b\). Ta có thể viết \(a=b+m(m\ge0)\)
Ta có :
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{b+m}{b}+\frac{b}{b+m}=1+\frac{m}{b}+\frac{b}{b+m}\ge1+\frac{m}{b+m}+\frac{b}{b+m}=1+\frac{m+b}{b+m}=2\)
Vậy : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b \((m=0)\)