\(\overrightarrow{AB}=\left(-3;4\right)\Rightarrow\) đường thẳng AB nhận \(\left(4;3\right)\) là 1 vtpt

Phương trình AB:
\(4\left(x-3\right)+3\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow4x+3y-15=0\)

b.

\(R=d\left(C;AB\right)=\dfrac{\left|4.6+1.3-15\right|}{\sqrt{4^3+3^2}}=\dfrac{12}{5}\)

Phương trình (C):

\(\left(x-6\right)^2+\left(y-1\right)^2=\dfrac{144}{25}\)

1.

\(\left(C\right):x^2+y^2-2x-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+y^2=5\)

Đường tròn \(\left(C\right)\) có tâm \(I=\left(1;0\right)\), bán kính \(R=\sqrt{5}\)

Phương trình đường thẳng \(d_1\) có dạng: \(x+y+m=0\left(m\in R\right)\)

Mà \(d_1\) tiếp xúc với \(\left(C\right)\Rightarrow d\left(I;d_1\right)=\dfrac{\left|1+m\right|}{\sqrt{2}}=\sqrt{5}\)

\(\Leftrightarrow\left|m+1\right|=\sqrt{10}\)

\(\Leftrightarrow m=-1\pm\sqrt{10}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}d_1:x+y-1+\sqrt{10}=0\\d_1:x+y-1-\sqrt{10}=0\end{matrix}\right.\)

2.

Phương trình đường thẳng \(\Delta\) có dạng: \(x-y+m=0\left(m\in R\right)\)

Ta có: \(d\left(I;\Delta\right)=\sqrt{R^2-\dfrac{MN^2}{4}}=2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left|m+1\right|}{\sqrt{2}}=2\)

\(\Leftrightarrow m=-1\pm2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\Delta:x-y+1+2\sqrt{2}=0\\\Delta:x-y+1-2\sqrt{2}=0\end{matrix}\right.\)

trung điểm của MN là:\(I=\dfrac{\left(2;0\right)}{2}=\left(1;0\right)\)

đường tròn đường thẳng MN có tâm I=(1;0) ,R = \(\dfrac{MN}{2}=\dfrac{\sqrt{\left(5+3\right)^2+\left(-1+1\right)^2}}{2}=\sqrt{17}\)

vậy pt đường tròn là: \(\left(x-1\right)^2+\left(y-0\right)^2=17\)

a, Đường tròn cần tìm có tâm \(I=\left(-\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}\right)\), bán kính \(R=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

Phương trình đường tròn: \(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{1}{2}\)

b, (C) có tâm \(I=\left(1;2\right)\), bán kính \(R=\sqrt{2}\)

Giao điểm của (C) và trục tung có tọa độ là nghiệm hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-2x-4y+3=0\\x=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y^2-4y+3=0\\x=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=3\\x=0\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}y=1\\x=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Giao điểm: \(M=\left(0;3\right);N=\left(0;1\right)\)

Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng: \(\Delta_1:ax+by-3b=0\left(a^2+b^2\ne0\right)\)

Ta có: \(d\left(I;\Delta_1\right)=\dfrac{\left|a+2b-3b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab=2a^2+2b^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a=-b\)

\(\Rightarrow\Delta_1:x-y+3=0\)

Tương tự ta tìm được tiếp tuyến tại N: \(\Delta_2=x+y-1=0\)