C thuộc Ox nên C(x;0)

D thuộc Oy nên D(0;y)

A(1;4); B(-2;1); C(x;0)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-2-1;1-4\right)=\left(-3;-3\right);\overrightarrow{AC}=\left(x-1;0-4\right)=\left(x-1;-4\right)\)

A,B,C thẳng hàng

=>\(\frac{x-1}{-3}=\frac{-4}{-3}\)

=>x-1=-4

=>x=-3

=>C(-3;0)

A(1;4); B(-2;1); D(0;y)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-3;-3\right);\overrightarrow{AD}=\left(0-1;y-4\right)=\left(-1;y-4\right)\)

A,B,D thẳng hàng

=>\(\frac{-1}{-3}=\frac{y-4}{-3}\)

=>y-4=-1

=>y=3

=>D(0;3)

a) \(\overrightarrow{AB}\left(2;2\right);\overrightarrow{AC}\left(2;-2\right)\) . Vì \(\frac{2}{2}\ne\frac{2}{-2}\) nên \(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\) không cùng phương => A; B; C không thẳng hàng

b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC => \(\begin{cases}x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{-1+1+1}{3}=\frac{1}{3}\\y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{1+3+\left(-1\right)}{3}=1\end{cases}\)=> G(1/3; 1)

c) ABCD là hình bình hành <=> \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\Leftrightarrow\begin{cases}x_D-x_A=x_C-x_B\\y_D-y_A=y_C-y_B\end{cases}\) <=> \(\begin{cases}x_D+1=0\\y_D-1=-4\end{cases}\) <=> \(\begin{cases}x_D=-1\\y_D=-3\end{cases}\) Vậy D (-1;-3)

d)  \(\overrightarrow{AB}\left(2;2\right);\overrightarrow{AC}\left(2;-2\right)\)

=> \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=2.2+2.\left(-2\right)=0\)  =>  \(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\) vuông góc với nhau => tam giác ABC vuông tại A

Ta có: AB² = 2² + 2² = 8 ; AC² = 2² + (-2)² = 8 => AB = AC => Tam giác ABC cân tại A

vậy...

e) Có thể đề của bạn là tam giác ABE vuông cân tại E  ( Khi đó giải điều kiện: EA = EB và vec tơ EA . Vec tơ EB = 0)

g) M nằm trên Ox => M (m; 0)

Tam giác OMA cân tại O <=> OM = OA  Hay OM² = OA² <=> m² = (-1)² + 1² => m² = 2 <=> m = \(\sqrt{2}\) hoặc m = -  \(\sqrt{2}\)

Vậy M (\(\sqrt{2}\); 0) ; M (-\(\sqrt{2}\); 0 )

1: A(1;1); B(3;3); C(0;-6)

\(AB=\sqrt{\left(3-1\right)^2+\left(3-1\right)^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2\)

\(AC=\sqrt{\left(0-1\right)^2+\left(-6-1\right)^2}=\sqrt{\left(-1\right)^2+\left(-7\right)^2}=\sqrt{50}=5\sqrt2\)

\(BC=\sqrt{\left(0-3\right)^2+\left(-6-3\right)^2}=\sqrt{\left(-3\right)^2+\left(-9\right)^2}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}\)

Xét ΔABC có \(cosA=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}\)

\(=\frac{8+50-90}{2\cdot2\sqrt2\cdot5\sqrt2}=\frac{8-40}{4\cdot2\cdot5}=\frac{-32}{8\cdot5}=\frac{-4}{5}\)

2: D(x;y); A(1;1); B(3;3)

\(\overrightarrow{DA}=\left(1-x;1-y\right);\overrightarrow{DB}=\left(3-x;3-y\right)\)

ΔDAB vuông cân tại D

=>DA=DB và \(\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DB}=0\)

DA=DB

=>\(\left(1-x\right)^2+\left(1-y\right)^2=\left(3-x\right)^2+\left(3-y\right)^2\)

=>\(x^2-2x+1+y^2-2y+1=x^2-6x+9+y^2-6y+9\)

=>-2x-2y+2=-6x-6y+18

=>4x+4y=16

=>x+y=4

=>y=4-x

\(\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DB}=0\)

=>(1-x)(3-x)+(1-y)(3-y)=0

=>(x-1)(x-3)+(y-1)(y-3)=0

=>(x-1)(x-3)+(4-x-1)(4-x-3)=0

=>(x-1)(x-3)+(3-x)(1-x)=0

=>2(x-1)(x-3)=0

=>(x-1)(x-3)=0

=>x=1 hoặc x=3

TH1: x=1

=>y=4-x=4-1=3

=>D(1;3)

TH2: x=3

=>y=4-x=4-3=1

=>D(3;1)

Gọi \(C\left(x;0\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(-6;2\right)\\\overrightarrow{BC}=\left(x+2;-4\right)\end{matrix}\right.\)

Tam giác ABC vuông tại B \(\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=0\)

\(\Rightarrow-6\left(x+2\right)-8=0\) \(\Rightarrow x=-\dfrac{10}{3}\)

\(\Rightarrow C\left(-\dfrac{10}{3};0\right)\)

Bạn tự tính tọa độ \(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{BC}\) từ đó suy ra độ dài 3 cạnh và tính được chu vi, diện tích

Do tam giác ABC vuông tại B nên ABCD là hcn khi \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)

Gọi \(D\left(x;y\right)\Rightarrow\overrightarrow{DC}=\left(-\dfrac{10}{3}-x;-y\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{10}{3}-x=-6\\-y=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(\dfrac{8}{3};-2\right)\)

Kết bạn nha !