Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: $\frac{x-3}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z+1}{-1}$ và mặt phẳng (P): x + y + z + 2 = 0. Đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với đường thẳng d đồng thời khoảng cách từ giao điểm I của d với (P) đến ∆ bằng $\sqrt{42}$. Gọi M(5;b;c) là hình chiếu vuông góc của I trên ∆. Giá trị của bc bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho đường thẳng  $d: \frac{x-1}{2}=\frac{y-7}{1}=\frac{z-3}{4}$ và mặt phẳng $\left(P\right): 3x-2y-z+5=0$. Khoảng cách giữa d và $\left(P\right)$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1;-2;-3); B(1;1;1) và hai đường thẳng ${∆}_1: \frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{4}=\frac{z+6}{-3}; {∆}_2: \frac{x-2}{1}=\frac{y+3}{-4}=\frac{z-4}{3}$. Gọi m là số mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB đồng thời song song với cả hai đường thẳng ∆_1;∆₂; n là số mặt phẳng (Q), sao cho khoảng cách từ A đến (Q) bằng 15, khoảng cách từ B đến (Q) bằng 10. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng   $d_1: \frac{x-3}{-1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+2}{1}$và $d_2: \frac{x-5}{-3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1}$ và mặt phẳng (P) có phương trình $x+2y+3z-5=0$. Đường thẳng Δ vuông góc với (P) cắt $d_1$ và $d_2$ có phương trình là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau ${\mathrm{d}}_1: \frac{\mathrm{x}-2}{2}=\frac{\mathrm{y}+2}{1}=\frac{\mathrm{z}-6}{-2}$ và ${\mathrm{d}}_2: \frac{\mathrm{x}-4}{1}=\frac{\mathrm{y}+2}{-2}=\frac{\mathrm{z}+1}{3}.$ Phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d₁ và song song với đường thẳng d₂ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $a:\frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{-2}$; $b:\frac{x+1}{-2}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{-1}$ và mặt phẳng $\left(P\right): x-y-z=0$. Viết phương trình của đường thẳng d song song với (P), cắt a và b lần lượt tại M và N mà $MN=\sqrt{2}$.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ${∆}_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-3}{-1}$ và  ${∆}_2:\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{4}=\frac{z-5}{-2}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ${\mathrm{d}}_1:\frac{\mathrm{x}-1}{3}=\mathrm{y}=\frac{\mathrm{z}-2}{-2}$ và đường thẳng ${\mathrm{d}}_2: \mathrm{x}-1=\mathrm{y}+2=\frac{\mathrm{z}}{2}.$ Mặt phẳng (P) cách đều hai đường thẳng d₁ và d₂ có phương trình là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho $d:\frac{x-3}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z+1}{-1}$ và $\left(P\right): x+y+z+2=0$. Có bao nhiêu đường thẳng $∆$ nằm trong mặt phẳng (P) mà $∆\perp d$ và khoảng cách từ M đến  $∆$ bằng $\sqrt{42}$ . Biết M là giao điểm của (P) và d.