Giả sử tồn tại các số nguyên dương x,y mà :

(x+y)(x-y)=2022 (1)

Không thể xảy ra trường hợp trong 2 số x và y có 1 số le và 1 số chẵn vì nếu xảy ra thì x+y va x-y đều là số lẻ nên tích (x+y)(x-y) là số lẻ trái với (1)

Vậy x,y phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ . Khi đó tích x+y và x-y đều là số chẵn nên tích  (x+y)(x-y)  chia hết cho 4 mà 2022 lại không chia hết cho 4                 suy ra không tồn tại 2 số nguyên dương x và y

\(Giải.\)

\(x^2-2y^2=1\Leftrightarrow x^2-1=2y^2\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-1\right)=2y^2\left(chẵn\right)\)

Dễ thấy: x+1-(x-1)=2 nên 2 số trên cùng chẵn hoặc cùng lẻ=> 2 số trên cùng chẵn

=> 2y² chia hết cho 4=>y² chia hết cho 2

=> y chẵn =>y=2=>x²-8=1=>x=3 (thỏa mãn)

Vậy chỉ có duy nhất 1 cặp: (x,y)=(3;2) thỏa mãn

Dễ thấy: x+1-(x-1)=2 nên 2 số trên cùng chẵn hoặc cùng lẻ=> 2 số trên cùng chẵn

=> 2y² chia hết cho 4=>y² chia hết cho 2

=> y chẵn =>y=2=>x²-8=1=>x=3 (thỏa mãn)

Vậy chỉ có duy nhất 1 cặp: (x,y)=(3;2) thỏa mãn

a, không tồn tại chắc vậy

a thì chắc không tồn tại rồi     

Còn b thì không biết

Bài 5:

a: Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là a;a+1;a+2;a+3

Tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp là:

a+a+1+a+2+a+3=4a+6=4a+4+2=4(a+1)+2 không chia hết cho 4

=>ĐPCM

b: Gọi bốn số chẵn liên tiếp là 2k;2k+2;2k+4;2k+6

Tích của bốn số chẵn liên tiếp là:

\(2k\left(2k+2\right)\left(2k+4\right)\left(2k+6\right)\)

\(=2k\cdot2\left(k+1\right)\cdot2\left(k+2\right)\cdot2\left(k+3\right)=16k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)\)

Vì k;k+1;k+2;k+3 là bốn số nguyên liên tiếp

nên k(k+1)(k+2)(k+3)⋮4!

=>k(k+1)(k+2)(k+3)⋮24

=>16k(k+1)(k+2)(k+3)⋮16*24=384

=>2k(2k+2)(2k+4)(2k+6)⋮384

giúp mình câu 1 đc ko bn

Giả sử tồn tại các số tự nhiên x,y,z thỏa mãn đề bài.

Ta có tính chất sau: với các số nguyên a,b,c bất kì, thì hai tổng a+b+c và |a|+|b|+|c| luôn có cùng tính chẵn lẻ.

Do đó, \(\left|x-3y\right|+\left|y-5z\right|+\left|z-7x\right|\) luôn có cùng tính chẵn lẻ với \(x-3y+y-5z+z-7x\)

Mà \(x-3y+y-5z+z-7x=-6x-2y-4z=2.\left(-3x-y-2z\right)\) luôn chẵn với mọi số tự nhiên x,y,z

=>\(\) \(\left|x-3y\right|+\left|y-5z\right|+\left|z-7x\right|\) luôn chẵn

Theo giả thiết:

\(\left|x-3y\right|+\left|y-5z\right|+\left|z-7x\right|=9^{x}+11^{y}+13^{z}\)

Do vế trái chẵn theo chứng minh trên, ta suy ra \(9^{x}+11^{y}+13^{z}\) cũng là số chẵn (1).

Mà 9, 11, 13 là các số tự nhiên lẻ, nên \(9^{x};11^{y};13^{z}\) cũng là các số tự nhiên lẻ

=>\(9^{x}+11^{y}+13^{z}\) có kết quả là 1 số lẻ (mâu thuẫn với (1))

Vậy điều giả sử là sai, hay ko tồn tại các số tự nhiên x,y,z thỏa mãn yêu cầu

Đề bài:
Tồn tại hay không các số tự nhiên \(x , y , z\) sao cho

\(\mid x - 3 y \mid + \mid y - 5 z \mid + \mid z - 7 x \mid = 9^{x} + 11^{y} + 13^{z}\)

Phân tích:

• \(x , y , z \in \mathbb{N}\) (số tự nhiên, tức là \(0 , 1 , 2 , 3 , \ldots\)).
• Vế trái là tổng các giá trị tuyệt đối, mỗi giá trị tuyệt đối có giá trị không âm và tương đối nhỏ nếu \(x , y , z\) nhỏ.
• Vế phải là tổng các số mũ với cơ số lớn (9, 11, 13) và lũy thừa theo \(x , y , z\), sẽ tăng rất nhanh khi \(x , y , z\)tăng.

Bước 1: So sánh quy mô 2 vế

• Vế trái:

\(\mid x - 3 y \mid + \mid y - 5 z \mid + \mid z - 7 x \mid \leq \mid x \mid + 3 \mid y \mid + \mid y \mid + 5 \mid z \mid + \mid z \mid + 7 \mid x \mid = 8 \mid x \mid + 4 \mid y \mid + 6 \mid z \mid\)

Tức là vế trái lớn nhất cũng chỉ là một số bậc nhất theo \(x , y , z\).

• Vế phải:

\(9^{x} + 11^{y} + 13^{z}\)

Là hàm số mũ tăng cực nhanh khi \(x , y , z\) tăng.

Bước 2: Kiểm tra trường hợp nhỏ

Thử với \(x = y = z = 0\):

\(\mid 0 - 0 \mid + \mid 0 - 0 \mid + \mid 0 - 0 \mid = 0\)\(9^{0} + 11^{0} + 13^{0} = 1 + 1 + 1 = 3\)

Không thỏa.

Thử \(x = y = z = 1\):

\(\mid 1 - 3 \mid + \mid 1 - 5 \mid + \mid 1 - 7 \mid = 2 + 4 + 6 = 12\)\(9^{1} + 11^{1} + 13^{1} = 9 + 11 + 13 = 33\)

Không thỏa.

Thử \(x = y = z = 2\):

Vế trái:

\(\mid 2 - 6 \mid + \mid 2 - 10 \mid + \mid 2 - 14 \mid = 4 + 8 + 12 = 24\)

Vế phải:

\(9^{2} + 11^{2} + 13^{2} = 81 + 121 + 169 = 371\)

Không thỏa.

Bước 3: Nhận xét

• Vế phải tăng nhanh hơn vế trái rất nhiều.
• Vì vế trái là hàm tuyến tính (hoặc độ lớn nhất bậc 1), còn vế phải là hàm mũ, nên với \(x , y , z\) lớn, vế phải rất lớn và vế trái rất nhỏ so với vế phải.

Bước 4: Trường hợp vế phải nhỏ nhất

Để vế phải nhỏ nhất, cần \(x = y = z = 0\) (hoặc giá trị nhỏ nhất). Với các giá trị nhỏ đã thử thì không thỏa.

Kết luận:

Không tồn tại các số tự nhiên \(x , y , z\) để

\(\mid x - 3 y \mid + \mid y - 5 z \mid + \mid z - 7 x \mid = 9^{x} + 11^{y} + 13^{z}\)

C1 ta có 3x^2 + 7y^2 = 2002 

<=> 3x^2=2002-7y^2 

<=> 3x^2=7(286-y^2) 

mặt khác (3;7)=1(nguyên tố cùng nhau) => x chia hết cho 7 <=> x^2 chia hết cho 7 

từ đó suy ra (286-y^2) chia hết cho 7 

<=> [287-(y^2+1) ] chia hết cho 7 

<=> y^2+1 chia hết cho 7 

giã sử y=7k +r (với 0<=r<=6 

=>y^2+1=(7k+r)^2+1=7(7k^2+2kr)+r^2 +1 

thử lại ta thấy với r =0;1;2;3;4;5;6 thì r^2 +1 o chia hết cho 7 => y^2+1 o chia hết cho 7 

=>đpcm
 

cách 2 
giữ 3x^3+7y^2=2002 (1) 

có nghiệm nguyên x,y 

từ (1) => x^2 chia hết cho 7 => x chia hết cho 7 => x => x^2=49 

=> x^2 có dạng 49t^2 (t thuộc Z) 

thay x^2=49t^2 vào (1) 

và nhận thấy y^2>=1 

=> 147t^2 <=1995 

=> t^2<=13 

-> t^2 = 1,4,9 

với t^2=1 ...=> x^2 =49 => y^2 =279,y#z 

t^2 =4 =>x^2=196 => y^2=258 (y#Z) 

t^=9 => x^2 =441 -> y^2 =223)(y#Z) 

đpcm