Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Giả sử 2 phân số trên có thể đồng thời là số tự nhiên.
Ta có:
$\frac{7n-1}{4}$ là số tự nhiên
$\Rightarrow 7n-1\vdots 4$
$\Rightarrow 7n-1-8n\vdots 4$
$\Rightarrow -n-1\vdots 4\Rightarrow n+1\vdots 4$
$\Rightarrow n=4t-1$ với $t$ tự nhiên.
Khi đó:
$\frac{5n+3}{12}=\frac{5(4t-1)+3}{12}=\frac{20t-2}{12}$
$=\frac{10t-1}{6}$
Vì $10t-1$ lẻ với mọi $t$ tự nhiên nên $10t-1\not\vdots 2$
$\Rightarrow 10t-1\not\vdots 6$
$\Rightarrow \frac{5n+3}{12}$ không là số tự nhiên (trái với giả sử)
Vậy không thể tồn tại stn $n$ để 2 phân số trên đều là số tự nhiên.
\(ab=cd\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)
Đặt \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=k\Rightarrow a=ck;b=dk\)
\(\Rightarrow ab=cd\Leftrightarrow cdk^2-cd=0\)
\(\Leftrightarrow cd\left(k^2-1\right)=0\Leftrightarrow k=\pm1\)
\(\left(+\right)k=1\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=1\Leftrightarrow a=c;b=d\)
\(\Rightarrow a^n+b^n+c^n+d^n=2a^n+2b^n\ge4\forall a,b>0\)
và \(2a^n+2b^n⋮2\Rightarrow a^n+b^n+c^n+d^n\)là hợp số
\(\left(+\right)k=-1\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=-1\Leftrightarrow a=-c;b=-d\)( vô lí )
Vì \(a,b,c,d>0\)
Vậy \(A=a^n+b^n+c^n+d^n\)là hợp số
ngheeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
3^n+2 - 2^n+4 + 3^n + 2^n
=>9.3^n - 16.2^n +3^n + 2^n
=>10.(3^n) -15.(2^n) =>30.(3^n-1) - 30(2^n-1)
=>30.(3^n-1 - 2^n-1) chia hết cho 30
Tk nha!
Đặt A = \(\sqrt{n}+\sqrt{n+4}\)
=> \(A^2=n+n+4+2\sqrt{n\left(n+4\right)}\) = \(2n+4+2\sqrt{n\left(n+4\right)}\)
Vì n nguyên dương nên 2n + 4 nguyên dương
Mặt khác n(n+4) >0 , không là số chính phương nên \(\sqrt{n\left(n+4\right)}\) , không phải số nguyên dương
=> \(2\left(\sqrt{n\left(n+4\right)}\right)\) không phải số nguyên dương
=> A2 không phải số nguyên dương => A không phải số nguyên dương ( đpcm)
============================
Các bạn giải nhanh nha!
Ngày mai lúc 8h 30 (hoặc sớm hơn) mình sẽ chấm và đưa ra đáp án.
giả sử \(\sqrt{n}\)+\(\sqrt{n+4}\) là số nguyên dương
khi đó (\(\sqrt{n}\)+\(\sqrt{n+4}\))2 cũng là số nguyên dương
->n+2.\(\sqrt{n\left(n+4\right)}\)+n+4 là số nguyên dương
->2n+4+2\(\sqrt{n\left(n+4\right)}\) là số nguyên dương
tổng trên là số nguyên dương <=>\(\sqrt{n\left(n+4\right)}\)là số nguyên<=>n(n+4) là bình phương của 1 số
Ta thấy với mọi n nguyên dương thì nếu
n=1 thì không thỏa mãn
n=2 thì không thỏa mãn
do đó với mọi n>2 thì tất cả các số là bình phương 1 số đều có dạng (n+2)2 =n2+4n+4
mà để là bình phương 1 số thì n(n+4) phải thêm 4 đơn vị với mọi số n (n>2)
do đó n(n+4) không thể là 1 số chính phương
do đó điều giả sử là không đúng
vậy KL
Cảm ơn các bạn đã đưa ra nhiều lời giải cho bài toán này.
Sau đây là lời giải từ toán Tuổi Thơ:
Giả sử có số nguyên dương n để \(\sqrt{n}+\sqrt{n+4}=a.\)Là một số nguyên dương.
Suy ra: \(a^2=2n+4+2\sqrt{n\left(n+4\right)}\).
Do đó \(2\sqrt{n\left(n+4\right)}=m,m\in N\)
Suy ra \(4n\left(n+4\right)=m^2\)
< = > \(\left(2n+4\right)^2-m^2=16\)
< = > \(\left(2n+4+m\right)\left(2n+4-m\right)=16\)
Vì 2n + 4 + m + 2n + 4 - m = 4n + 8, là các số chẵn nên 2n + 4 + m và 2n + 4 - m là các ước chẵn của 16
Suy ra 2n + 4 + m = 8 ; 2n + 4 - m = 2
Do đó 2n = 1 loại ( vì n \(\in\)Z), Ta có ĐPCM
Cảm ơn các bạn đã đưa ra nhiều lời giải cho bài toán này.
Sau đây là lời giải từ toán Tuổi Thơ:
Giả sử có số nguyên dương n để \(\sqrt{n}+\sqrt{n+4}=a.\)Là một số nguyên dương.
Suy ra: \(a^2=2n+4+2\sqrt{n\left(n+4\right)}\).
Do đó \(2\sqrt{n\left(n+4\right)}=m,m\in N\)
Suy ra \(4n\left(n+4\right)=m^2\)
< = > \(\left(2n+4\right)^2-m^2=16\)
< = > \(\left(2n+4+m\right)\left(2n+4-m\right)=16\)
Vì 2n + 4 + m + 2n + 4 - m = 4n + 8, là các số chẵn nên 2n + 4 + m và 2n + 4 - m là các ước chẵn của 16
Suy ra 2n + 4 + m = 8 ; 2n + 4 - m = 2
Do đó 2n = 1 loại ( vì n \(\in\)Z), Ta có ĐPCM