\(1+a^2+a^4+a^6+.....+a^{2n}\)

\(\Rightarrow a^2.S1=a^2+a^4+a^6+a^8+.....+a^{2\left(1+n\right)}\)

\(\Rightarrow a^2.S1-S1=\left(a^2+a^4+....+2^{2\left(1+n\right)}\right)-\left(1+a^2+a^4+....+2^{2n}\right)\)

\(\Rightarrow S1\left(a-1\right)\left(a+1\right)=a^{2\left(1+n\right)}-1\)

\(\Rightarrow S1=\frac{a^{2\left(1+n\right)}-1}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}\)

Ta có : aS_n = a.( 1 + a + a² + a³ + .... + aⁿ )

=> aS_n = a + a² + a³ + a⁴ + ..... + aⁿ⁺¹

Lấy biểu thức aS_n - S_n , ta được :

aS_n - S_n = ( a + a² + a³ + a⁴ + ..... + aⁿ⁺¹ ) - ( 1 + a + a² + a³ + .... + aⁿ )

=> a-1S_n = aⁿ⁺¹ - 1

=> S_n = ( aⁿ⁺¹ - 1 ) : a - 1

S_n = 1 + a + a² + a³ + .................. + aⁿ

=> 2.S_n = a + a² + a³ + .................... + a^{n + 1}

=> 2.S_n - S_n = a^{n + 1} - 1

=> S_n = a^{n + 1} - 1

Cho x ∈ N thì x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x-1)(x+1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp

Suy ra khi này x^3 - x chia hết cho 3 (1)

Từ (1), ta có:

S = a_1 + a_2 + ... + a_n

B = (a_1)^3 + (a_2)^3 + ... + (a_n)^3

=> B - S = ((a_1)^3 + ... + (a_n)^3) - (a_1 + a_2 + ... + a_n)

B - S = (a_1)^3 + ... + (a_n)^3 - a_1 - a_2 - ... - a_n

B - S = ((a_1)^3 - a_1) + ... + ((a_n)^3 - a_n)

Mà (a_1)^3 - a_1 chia hết cho 3

(a_2)^3 - a_2 chia hết cho 3 Nên B - S chia hết cho 3 (2)

. . .

(a_n)^3 - a_n chia hết cho 3

Theo (2), mà S chia hết cho 3 nên B chia hết cho 3

Vậy B chia hết cho 3. (đpcm)

Câu hỏi của •๖ۣۜLү ²ƙ⁸ ( ๖ۣۜTεαм ๖ۣۜNɦâη ๖ۣۜMã )⁀ᶦᵈᵒᶫ - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath