a) Xét hiệu u_n+1 - u_n = - 2 - ( - 2) = - .

Vì < nên u_n+1 - u_n = - < 0 với mọi n ε N^{* .}

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

b) Xét hiệu u_n+1 - u_n =

=

Vậy u_n+1 > u_n với mọi n ε N^* hay dãy số đã cho là dãy số tăng.

c) Các số hạng ban đầu vì có thừa số (-1)ⁿ, nên dãy số dãy số không tăng và cũng không giảm.

d) Làm tương tự như câu a) và b) hoặc lập tỉ số (vì u_n > 0 với mọi n ε N^* ) rồi so sánh với 1.

Ta có với mọi n ε N^*

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm

a) Với n = 1, vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng = 2

Vậy hệ thức đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng S_n.

Giả sử đẳng thức a) đúng với n = k ≥ 1, tức là

S_k= 2 + 5 + 8 + …+ 3k – 1 =

Ta phải chứng minh rằng cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh

S_k+1 = 2 + 5 + 8 + ….+ 3k -1 + (3(k + 1) – 1) =

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: S_k+1 = S_k + 3k + 2 = + 3k + 2

= (điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức đúng với mọi n ε N^*

b) Với n = 1, vế trái bằng , vế phải bằng , do đó hệ thức đúng.

Đặt vế trái bằng S_n.

Giả sử hệ thức đúng với n = k ≥ 1, tức là

Ta phải chứng minh .

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

= (điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b) đúng với mọi n ε N^*

c) Với n = 1, vế trái bằng 1, vế phải bằng = 1 nên hệ thức đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng S_n.

Giả sử hệ thức c) đúng với n = k ≥ 1, tức là

S_k = 1² + 2² + 3² + …+ k² =

Ta phải chứng minh

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

S_k+1 = S_k + (k + 1)^{2 =} = (k + 1). = (k + 1)

(đpcm)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức đúng với mọi n ε N^*