hơi lỗi tý

viết đề hẳn hoi nhé bạn

đề bài kiêủ j đấy??? -_-

lỗi kĩ thuật

1. Hoán vị

a) Định nghĩa hoán vị: 

    Cho tập hợp A có n (n≥1)\left(n\ge1\right)(n≥1) phần tử. Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được một hoán vị của n phần tử đó.

b) Ví dụ và cách tính số các hoán vị

Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 bạn An, Bình, Chi, Dung ngồi vào một bàn học gồm bốn chỗ ngồi?

Giải:

  Mỗi cách sắp xếp bốn bạn vào một bàn bốn chỗ là một hoán vị của 4 phần tử. Ta tính số hoán vị bằng 2 cách như sau:

- Cách 1: Liệt kê: Để cho gọn, ta viết A, B, C, D thay cho tên bốn bạn: An, Bình, Chi, Dung. Ta có tất cả các cách sắp xếp là:

   ABCD , ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB

   BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA

   CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA

   DABC. DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA

 Có tất cả 24 cách.

- Cách 2: Sử dụng qui tắc nhân: Để chọn được một cách sawos xếp thì ta thực hiện liên tiếp 4 hành động sau:

   + Chọn người vào vị trí đầu tiên của bàn: Có 4 cách chọn (A, B, C, D)

   + Sau khi chọn người vào vị trí đầu, ta chọn tiếp người vào vị trí thứ hai: có 3 cách chọn (vì không chọn người đã ngồi vị trí thứ nhất)

   + Sau khi chọn hai người vào vị trí thứ nhất và thứ hai, ta chọn tiếp ngườ vào vị trí thứ ba: Có 2 cách chọn (vì không chọn lại hai người ở vị trí thứ nhất và vị trí thứ hai)

   + Sau khi chọn ba người vào ba vị trí đầu tiên, vị trí thứ tư chỉ còn 1 lựa chọn.

Vậy số cách chọn là: 4 x 3 x 2 x 1 = 24 cách. 

Qua ví dụ trên, ta có công thức tính số hoạn vị của n phần tử như sau:

Định lí 1: Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử, kí hiệu là PnP_nPn​:

           Pn=n!=n.(n−1)...2.1P_n=n!=n.\left(n-1\right)...2.1Pn​=n!=n.(n−1)...2.1

Ví dụ 2: Một đoàn khách du lịch dự định tham quan bảy địa điểm A, B, C, D, E, GA, B, C, D, E, G và H ở thủ đô Hà Nội. Họ đi thăm quan theo một thứ tự nào đó, chẳng hạn B→A→C→E→D→G→H. Như vậy, mỗi cách chọn thứ tự các địa điểm tham quan trên là một hoán vị của tập {A,B,C,D,E,G,H}. Thành thử, đoàn khách có tất cả 7!=50407!=5040 cách chọn.

2. Chỉnh hợp

a) Định nghĩa:

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n≥1n\ge1n≥1) và số nguyên k với 1≤k≤n1\le k\le n1≤k≤n. Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

 Nhận xét: Hai chỉnh hợp khác nhau khi và chi khi có một phần tử của chỉnh hợp này mà không phải của chỉnh hợp kia, hoặc phần tử của hai chỉnh hợp giống nhau nhưng được sắp xếp theo thứ tự khác nhau.

b) Ví dụ và cách tính số các chỉnh hợp:

Ví dụ 1: Một nhóm học tập có năm bạn A, B, C, D, E. Hãy tính số cách phân công ba bạn làm trực nhật: một bạn quét nhà, một bạn lau bảng và một bạn sắp xếp bàn ghế?

Giải:

Ta kí hiệu ABC là một phân công trực nhật: A - quét nhà, B - lau bảng, C - sắp xếp bàn ghế.

Và như vậy: BAC là một phân công: B - quét nhà, A - lau bảng, C - sắp xếp bàn ghế.

Ta thấy ABC và BAC tuy cùng là ba bạn A, B, C nhưng đó là hai cách phân công khác nhau (vì khác nhau ở chỗ nhiệm vụ mỗi người khác nhau).

Như vậy mỗi một cách phân công là một chỉnh chập 3 của 5 phần tử.

Ta tính số cách phân công (hay số chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử) bằng hai cách sau:

- Cách 1: Liệt kê:

    ABC, ABD, ABE, ACB, ACD, ACE, ADB, ADC, ADE, AEB, AEC, AED, BAC, ....

   Số cách là: 60 cách

- Cách 2: Sử dụng qui tắc nhân:

Mỗi cách phân công trực nhật là việc chọn liên tiếp 3 vị trí: quét nhà, lau bảng, sắp xếp bàn ghế.

  + Có 5 cách chọn người quét nhà

  + Khi đã chọn người quét nhà, có 4 cách chọn người lau bảng (phải trừ người quét nhà)

  + Khi đã chọn được người quét nhà và người lau bảng, có 3 cách chọn người sắp xếp bàn ghế (vì còn 3 bạn sau khi không tính hai người quét nhà và lau bảng)

Như vậy số cách phân công trực nhật là: 5 x 4 x 3 = 60 cách.

Qua ví dụ trên ta có cách tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử như sau:

Định lí 2: Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử, kí hiệu   AknA_n^kAnk​ (1≤k≤n)\left(1\le k\le n\right)(1≤k≤n)
       Akn=n.(n−1)(n−2)...(n−k+1)A_n^k=n.\left(n-1\right)\left(n-2\right)...\left(n-k+1\right)Ank​=n.(n−1)(n−2)...(n−k+1)     (1)

Nhận xét: Một chỉnh hợp chập n của n phần tử chính là một hoán vị của n phần tử. Do vậy: Ann=Pn=n!A_n^n=P_n=n!Ann​=Pn​=n!

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng cho một tập hợp gồm 6 điểm phân biệt. Có bao nhiêu vecto khác vecto có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp điểm này?

Giải :  Mỗi cặp sắp xếp thứ tự gồm hai điểm (A,B) cho ta một vecto có điểm đầu A, điểm cuối B. Như vậy, mỗi vectơ có thể xem là một chỉnh hợp chập 2 của tập hợp 6 điểm đã cho. Vậy  số vectơ cần tìm là:

                                          Unknown node type: span                                          Unknown node type: span

Chú ý: Với  0 < k < n thì ta có thể viết công thức (1) dưới dạng

                                   Unknown node type: spanUnknown node type: span            (2)        

             Với quy ước 0! = 1= 1

Khi đó công thức (2) đúng cho cả k=0 và k=n. Vậy công thức (2) đúng với mọi số nguyên k thỏa mãn  0≤k≤n0\le k\le n0≤k≤n

3. Tổ hợp

a) Định nghĩa:
 Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với 0≤k≤n0\le k\le n0≤k≤n. Một tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của Unexpected text node: 'n'Unexpected text node: 'n' phần tử của A (gọi tắt là một tổ hợp chập k của A).

Như vậy lập một tổ hợp chập Unexpected text node: 'k 'Unexpected text node: 'k 'của A chính là lấy ra Unexpected text node: 'k 'Unexpected text node: 'k 'phần tử của A (không quan tâm đến thứ tự)

b) Ví dụ và cách tính số các tổ hợp:

Ví dụ 1: Trên mặt  phẳn cho 4 điểm phân biệt A, B, C, D sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh thuộc tập 4 điểm đã cho?

Giải: Mỗi một tam giác ứng với tập có 3 đỉnh lấy ra từ tập 5 điểm đã cho (thứ tự các đỉnh không quan trọng, ví dụ các tam giác ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA đều là một tam giác và chỉ đếm 1 lần). Hay nói cách mỗi tam giác là một tổ hợp chập 3 của 4 phần tử A, B, C, D.

Ta tính số tổ hợp chập 3 của 4 phần tử bằng 2 cách sau:

- Cách 1: Liệt kê:

   ABC, ABD, BCD

   (có 3 tam giác)

- Cách 2: Tính theo số chỉnh hợp chập k của n phần tử:

   Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là: Akn=n!(n−k)!A^k_n=\frac{n!}{\left(n-k\right)!}Ank​=(n−k)!n!​ 

   Tuy nhiên trong các chỉnh hợp chập k, thứ tự các phần tử là quan trọng. Nếu thứ tự là không quan trong, thì số phần tử sẽ giảm đi (k!) lần.

   Hay nói cách khác, so với số chỉnh hợp chập k thì số tổ hợp chập k chỉ tính mỗi tập con là 1 lần còn số chỉnh hợp phải tính k! lần tương ứng với số hoán vị của k phần tử.

Vậy số tổ hợp chập k của n phần từ bằng số chỉnh hợp chập k của n phần tử chia cho k!.

Kí hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là CknC_n^kCnk​  hoặc (nk)\left(\frac{n}{k}\right)(kn​)thì ta có:

    Ckn=Aknk!=n!k!(n−)!C_n^k=\frac{A^k_n}{k!}=\frac{n!}{k!\left(n-\right)!}Cnk​=k!Ank​​=k!(n−)!n!​

Định lí 3: Số các tổ hợp chập Unexpected text node: 'k'Unexpected text node: 'k' của một tập hợp có n phần tử 1≤k≤n1\le k\le n1≤k≤n là 

               Ckn=Aknk!=n(n−1)(n−2)......(n−k+1)k!C_n^k=\frac{A_n^k}{k!}=\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)......\left(n-k+1\right)}{k!}Cnk​=k!Ank​​=k!n(n−1)(n−2)......(n−k+1)​

Ví dụ 2:  Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Cần lập một đoàn đại biểu gồm 5 người. Hỏi

   a) Có tất cả bao nhiêu cách lập

   b) Có bao nhiêu cách lập trong đó có 3 nam và 2 nữ

Giải:

a) Mỗi cách lập là một tổ hợp chập 5 của 10 phần tử (vì 10 người). Số cách lập là:

       C510=10!5!(10−5)!=252C^5_{10}=\frac{10!}{5!\left(10-5\right)!}=252C105​=5!(10−5)!10!​=252 cách

b) Số cách lập đoàn 5 người trong đó có 3 nam và 2 nữ:

   - Số cách chọn 3 nam từ 6 nam là: C36C^3_6C63​

   - Số cách chọn 2 nam từ 4 nữ là: C24C^2_4C42​

  Theo qui tắc nhân, số cách chọn 5 người trong đó có 3 nam và 2 nữ là C36.C24=20.6=120C^3_6.C^2_4=20.6=120C63​.C42​=20.6=120 cách.

4. Hai tính chất cơ bản của số CknC_n^kCnk​

a) Tính chất 1:

 Cho số nguyên dương n và số nguyên Unexpected text node: 'k'Unexpected text node: 'k' với 0≤k≤n0\le k\le n0≤k≤n. Khi đó

       Ckn=Cn−knC_n^k=C_...

tả lời

bn cs thể cho lại câu hỏi được ko