Đặt ( n+3 ; 2n+5) = d

=> \(n+3⋮d\Rightarrow2.\left(n+3\right)⋮d\)(1)

=> \(2n+5⋮d\)(2)

Từ (1) và (2) => \(2.\left(n+3\right)-2n+5⋮d\)

=>\(2n+6-2n-5⋮d\)

=> \(1⋮d\)

vậy UCLN(n+3; 2n+5)=1

a) Vì n\(\inℕ\)nên n + 1 \(\inℕ\)và 2n + 3\(\inℕ\).

Gọi d \(\in\)ƯCLN ( n + 1 , 2n + 3 )

\(\Rightarrow n+1⋮d\)và \(2n+3⋮d\)

\(\Rightarrow\left(2n+3\right)-2\left(n+1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2n+3-2n-2⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d\in\left\{1;-1\right\}\)

\(\Rightarrow\frac{n+1}{2n+3}\)là phân số tối giản .

                           Vậy \(\frac{n+1}{2n+3}\)tối giản \(\forall n\inℕ\).

b) TƯƠNG TỰ CÂU (a)

Gọi d là ước chung của n+3 và 2n+5

Ta có n+3\(⋮\) d và 2n+5 \(⋮\)d

Suy ra (2n+6)-(2n+5)\(⋮\) d \(\Rightarrow\) 1\(⋮\)d

Vậy d=1

Gọi d là ước chung của n + 3 và 2n + 5.

Ta có n + 3 ⋮ d và 2n + 5 ⋮ d.

Suy ra (2n + 6) - (2n + 5) ⋮ d $\Rightarrow$

1 ⋮ d.

Vậy d = 1.

Gọi ƯC(n+3;2n+5) là d

Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(n+3\right)⋮d\\\left(2n+5\right)⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2.\left(n+3\right)⋮d\\\left(2n+5\right)⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+6⋮d\\2n+5⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(2n+6\right)-\left(2n+5\right)⋮d\)

\(\Rightarrow\) \(\left(2n+6-2n-5\right)⋮d\)

\(\Rightarrow\) 1 \(⋮\)d

\(\Rightarrow\) d = 1

Vậy ước chung của 2 số n + 3 và 2n + 5 là 1

Gọi \(UC_{\left(n+3;2n+5\right)}=d\left(d\in N\right).\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n+3⋮d.\\2n+5⋮d.\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(n+3\right)-\left(2n+5\right)⋮d.\)

\(\Rightarrow\left(2n+6\right)-\left(2n+5\right)⋮d.\)

\(\Rightarrow1⋮d.\)

mà \(d\in N.\)

\(\Rightarrow d=1.\)

Vậy \(UC_{\left(n+3;2n+5\right)}=1.\)