Bài 1 : 

Phương trình <=> 2^x . x² = ( 3y + 1 ) ² + 15

Vì \(\hept{\begin{cases}3y+1\equiv1\left(mod3\right)\\15\equiv0\left(mod3\right)\end{cases}\Rightarrow\left(3y+1\right)^2+15\equiv1\left(mod3\right)}\)

\(\Rightarrow2^x.x^2\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow x^2\equiv1\left(mod3\right)\)

( Vì số  chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1 ) 

\(\Rightarrow2^x\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow x\equiv2k\left(k\inℕ\right)\)

Vậy \(2^{2k}.\left(2k\right)^2-\left(3y+1\right)^2=15\Leftrightarrow\left(2^k.2.k-3y-1\right).\left(2^k.2k+3y+1\right)=15\)

Vì y ,k \(\inℕ\)nên 2^k . 2k + 3y + 1 > 2^k .2k - 3y-1>0

Vậy ta có các trường hợp: 

\(+\hept{\begin{cases}2k.2k-3y-1=1\\2k.2k+3y+1=15\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2k.2k=8\\3y+1=7\end{cases}\Rightarrow}k\notinℕ\left(L\right)}\)

\(+,\hept{\begin{cases}2k.2k-3y-1=3\\2k.2k+3y+1=5\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2k.2k=4\\3y+1=1\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}k=1\\y=0\end{cases}\left(TM\right)}}\)

Vậy ( x ; y ) =( 2 ; 0 ) 

Bài 3: 

Giả sử \(5^p-2^p=a^m\)    \(\left(a;m\inℕ,a,m\ge2\right)\)

Với \(p=2\Rightarrow a^m=21\left(l\right)\)

Với \(p=3\Rightarrow a^m=117\left(l\right)\)

Với \(p>3\)nên p lẻ, ta có

\(5^p-2^p=3\left(5^{p-1}+2.5^{p-2}+...+2^{p-1}\right)\Rightarrow5^p-2^p=3^k\left(1\right)\)    \(\left(k\inℕ,k\ge2\right)\)

Mà \(5\equiv2\left(mod3\right)\Rightarrow5^x.2^{p-1-x}\equiv2^{p-1}\left(mod3\right),x=\overline{1,p-1}\)

\(\Rightarrow5^{p-1}+2.5^{p-2}+...+2^{p-1}\equiv p.2^{p-1}\left(mod3\right)\)

Vì p và \(2^{p-1}\)không chia hết cho 3 nên \(5^{p-1}+2.5^{p-2}+...+2^{p-1}⋮̸3\)

Do đó: \(5^p-2^p\ne3^k\), mâu thuẫn với (1). Suy ra giả sử là điều vô lý

\(\rightarrowĐPCM\)

Câu 4:

5x + 7y = 112

5(x+ y) = 112 - 2y

5(x + y) = 2(56 - y)

\(\begin{cases}x+y=2\\ 56-y=5\end{cases}\)

\(\begin{cases}x+y=2\\ y=56-5\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=2-y\\ y=51\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=2-51\\ y=51\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=-49\\ y=51\end{cases}\)

Vậy (x ; y) = (-49; 51)

tớ không biết

cj lậy chú

nhây vừa thoi

Bạn đặt chia ra ta đc : \(A\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(ax+b+a\right)+a+b+c\)

Và \(A\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(ax+b-a\right)+c-b+a\)

Vì số dư bằng nhau nên : \(a+b+c=c-b+a\)=> b=0

a) \(x^2-25=y\left(y+6\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-\left(y+3\right)^2=16\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+3\right)\left(x-y-3\right)=16=1.16=...\)

Vậy có 6 cặp số (x;y):....

Ta có: \(2x^2+y^2+3xy-3x-3y+11=0\)

=>\(2x^2+x\left(3y-3\right)+y^2-3y+11=0\)

\(\Delta=\left(3y-3\right)^2-4\cdot2\cdot\left(y^2-3y+11\right)\)

\(=9y^2-18y+9-8y^2+24y-88=y^2+6y-79\)

\(=y^2+6y+9-88=\left(y+3\right)^2-88\)

Để phương trình có nghiệm nguyên thì Δ phải là số chính phương

=>\(\left(y+3\right)^2-88=k^2\left(k\in Z\right)\)

=>\(\left(y+3\right)^2-k^2=88\)

=>(y+3-k)(y+3+k)=88

=>(y+3-k;y+3+k)∈{(1;88);(88;1);(-1;-88);(-88;-1);(2;44);(44;2);(-2;-44);(-44;-2);(4;22);(-4;-22);(22;4);(-22;-4);(8;11);(-8;-11);(11;8);(-11;-8)}

TH1: y+3-k=1 và y+3+k=88

=>y+3-k+y+3+k=1+88

=>2y+6=89

=>2y=83

=>y=41,5(loại)

TH2: y+3-k=88 và y+3+k=1

=>y+3-k+y+3+k=1+88

=>2y+6=89

=>2y=83

=>y=41,5(loại)

TH3: y+3-k=-1 và y+3+k=-88

=>=>y+3-k+y+3+k=-1-88

=>2y+6=-89

=>2y=-95

=>y=-47,5(loại)

TH4: y+3-k=-88 và y+3+k=-1

=>=>y+3-k+y+3+k=-1-88

=>2y+6=-89

=>2y=-95

=>y=-47,5(loại)

TH5: y+3-k=2 và y+3+k=44

=>y+3-k+y+3+k=2+44

=>2y+6=46

=>2y=40

=>y=20(nhận)

\(2x^2+x\left(3y-3\right)+y^2-3y+11=0\)

=>\(2x^2+x\left(3\cdot20-3\right)+20^2-3\cdot20+11=0\)

=>\(2x^2+57x+351=0\)

=>\(\left(2x+39\right)\left(x+9\right)=0\)

=>\(\left[\begin{array}{l}2x+39=0\\ x+9=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}2x=-39\\ x=-9\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=-\frac{39}{2}\left(loại\right)\\ x=-9\left(nhận\right)\end{array}\right.\)

TH6: y+3-k=44 và y+3+k=2

=>y+3-k+y+3+k=2+44

=>2y+6=46

=>2y=40

=>y=20(nhận)

\(2x^2+x\left(3y-3\right)+y^2-3y+11=0\)

=>\(2x^2+x\left(3\cdot20-3\right)+20^2-3\cdot20+11=0\)

=>\(2x^2+57x+351=0\)

=>\(\left(2x+39\right)\left(x+9\right)=0\)

=>\(\left[\begin{array}{l}2x+39=0\\ x+9=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}2x=-39\\ x=-9\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=-\frac{39}{2}\left(loại\right)\\ x=-9\left(nhận\right)\end{array}\right.\)

TH7: y+3-k=-2 và y+3+k=-44

=>y+3-k+y+3+k=-2-44

=>2y+6=-46

=>2y=-52

=>y=-26

Ta có: \(2x^2+x\left(3y-3\right)+y^2-3y+11=0\)

=>\(2x^2+x\cdot\left\lbrack3\cdot\left(-26\right)-3\right\rbrack+\left(-26\right)^2-3\cdot\left(-26\right)+11=0\)

=>\(2x^2-81x+765=0\)

=>(x-15)(2x-51)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x-15=0\\ 2x-51=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=15\left(nhận\right)\\ x=\frac{51}{2}\left(loại\right)\end{array}\right.\)

TH8: y+3-k=-44 và y+3+k=-2

=>y+3-k+y+3+k=-2-44

=>2y+6=-46

=>2y=-52

=>y=-26

Ta có: \(2x^2+x\left(3y-3\right)+y^2-3y+11=0\)

=>\(2x^2+x\cdot\left\lbrack3\cdot\left(-26\right)-3\right\rbrack+\left(-26\right)^2-3\cdot\left(-26\right)+11=0\)

=>\(2x^2-81x+765=0\)

=>(x-15)(2x-51)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x-15=0\\ 2x-51=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=15\left(nhận\right)\\ x=\frac{51}{2}\left(loại\right)\end{array}\right.\)

TH9: y+3-k=4 và y+3+k=22

=>y+3-k+y+3+k=4+22

=>2y+6=26

=>2y=20

=>y=10

Ta có: \(2x^2+x\left(3y-3\right)+y^2-3y+11=0\)

=>\(2x_{}^2+x\left(3\cdot10-3\right)+10^2-3\cdot10+11=0\)

=>\(2x^2+27x+81=0\)

=>\(2x^2+18x+9x+81=0\)

=>(x+9)(2x+9)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x+9=0\\ 2x+9=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=-9\left(nhận\right)\\ x=-\frac92\left(loại\right)\end{array}\right.\)

TH10: y+3-k=22 và y+3+k=4

=>y+3-k+y+3+k=4+22

=>2y+6=26

=>2y=20

=>y=10

Ta có: \(2x^2+x\left(3y-3\right)+y^2-3y+11=0\)

=>\(2x_{}^2+x\left(3\cdot10-3\right)+10^2-3\cdot10+11=0\)

=>\(2x^2+27x+81=0\)

=>\(2x^2+18x+9x+81=0\)

=>(x+9)(2x+9)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x+9=0\\ 2x+9=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=-9\left(nhận\right)\\ x=-\frac92\left(loại\right)\end{array}\right.\)

TH11: y+3-k=-4 và y+3+k=-22

=>y+3-k+y+3+k=-4-22

=>2y+6=-26

=>2y=-32

=>y=-16

Ta có: \(2x^2+x\left(3y-3\right)+y^2-3y+11=0\)

=>\(2x_{}^2+x\cdot\left\lbrack3\cdot\left(-16\right)-3\right\rbrack+\left(-16\right)^2-3\cdot\left(-16\right)+11=0\)

=>\(2x^2-51x+315=0\)

=>\(2x^2-30x-21x+315=0\)

=>(x-15)(2x-21)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x-15=0\\ 2x-21=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=15\left(nhận\right)\\ x=\frac{21}{2}\left(loại\right)\end{array}\right.\)

TH12: y+3-k=-22 và y+3+k=-4

=>y+3-k+y+3+k=-4-22

=>2y+6=-26

=>2y=-32

=>y=-16

Ta có: \(2x^2+x\left(3y-3\right)+y^2-3y+11=0\)

=>\(2x_{}^2+x\cdot\left\lbrack3\cdot\left(-16\right)-3\right\rbrack+\left(-16\right)^2-3\cdot\left(-16\right)+11=0\)

=>\(2x^2-51x+315=0\)

=>\(2x^2-30x-21x+315=0\)

=>(x-15)(2x-21)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x-15=0\\ 2x-21=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=15\left(nhận\right)\\ x=\frac{21}{2}\left(loại\right)\end{array}\right.\)

TH13: y+3-k=8 và y+3+k=11

=>y+3-k+y+3+k=8+11

=>2y+6=19

=>2y=13

=>y=6,5(loại)

TH14: y+3-k=11 và y+3+k=8

=>y+3-k+y+3+k=8+11

=>2y+6=19

=>2y=13

=>y=6,5(loại)

TH15: y+3-k=-8 và y+3+k=-11

=>y+3-k+y+3+k=-8-11

=>2y+6=-19

=>2y=-25

=>y=-12,5(loại)

TH16: y+3-k=-11 và y+3+k=-8

=>y+3-k+y+3+k=-8-11

=>2y+6=-19

=>2y=-25

=>y=-12,5(loại)

1. Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) với \(a=x^3+3xy^2,b=y^3+3x^2y\) (a;b > 0)

(Bất đẳng thức này a;b > 0 mới dùng được)

\(A\ge\frac{4}{x^3+3xy^2+y^3+3x^2y}=\frac{4}{\left(x+y\right)^3}\ge\frac{4}{1^3}=4\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}x^3+3xy^2=y^3+3x^2y\\x+y=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^3-3x^2y+3xy^2-y^3=0\\x+y=1\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^3=0\\x+y=1\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

\(3xy+x+15y-44=0\)

\(3y\left(x+5\right)+\left(x+5\right)-49=0\)

\(\left(x+5\right)\left(3y+1\right)=49\)

Vì x;y là số nguyên \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+5\in Z\\3y+1\in Z\end{cases}}\)

Có \(\left(x+5\right)\left(3y+1\right)=49\)

\(\Rightarrow\left(x+5\right)\left(3y+1\right)\in\text{Ư}\left(49\right)=\left\{\pm1;\pm7;\pm49\right\}\)

b tự lập bảng nhé~