a, \(A=\frac{2\left(4n+3\right)+187}{4n+3}=2+\frac{187}{4n+3}\)

Để A nguyên => \(\frac{187}{4n+3}\inℤ\)

=> \(4n+3\inƯ\left(187\right)\)

Đến đây bạn tự giải tiếp nha.

b, Phân số tối giản khi ƯCLN của tử và mẫu là 1. 

=> \(A=2+\frac{187}{4n+3}\) tối giản khi \(\left(4n+3\right)\notinƯ\left(187\right)\).

\(a)\) Ta có : 

\(A=\frac{8n+193}{4n+3}=\frac{8n+6}{4n+3}+\frac{187}{4n+3}=\frac{2\left(4n+3\right)}{4n+3}+\frac{187}{4n+3}=2+\frac{187}{4n+3}\)

Để A là số tự nhiên thì \(\frac{187}{4n+3}\) cũng là số tự nhiên 

\(\Rightarrow\)\(187⋮\left(4n+3\right)\)

\(\Rightarrow\)\(\left(4n+3\right)\inƯ\left(187\right)\)

Mà \(Ư\left(187\right)=\left\{1;-1;11;-11;17;-17;187;-187\right\}\) ( mk ko biết còn bao nhiêu ước nữa nếu còn thì bạn tự làm nha mk chỉ phân k bấy nhiêu thui )

\(\Rightarrow\)\(\left(4n+3\right)\in\left\{1;11;17;187\right\}\) ( vì 4n + 3 dương ) 

Suy ra : 

\(n\in\left\{2;46\right\}\)

Vậy 

U(187) ={1 ; 17 ; 187}

*4n+3 =1 => n = -1/2 (loai)

*4n+3=17 => n=7/2 ( loai)

*4n+3=187 => n= 46

=> n=46

\(A=\frac{8n+193}{4n+3}=\frac{2\left(4n+3\right)+187}{4n+3}=2+\frac{187}{4n+3}\)

Với n là số tự nhiên => để A là số tự nhiên thì 187 phải chia hết cho 4n+3 => 4n+3 thuộc Ư(187)=\(\left\{\pm1;\pm11;\pm17\pm187\right\}\)

Nên \(4n+3\in\left(11,17,187\right)\)

=> suy ra n=2 hoặc n=46 (vì có những số ko chia hết cho 4 được nên ta chọn những số chia hết dc) khúc này bn có thể lập bảng.

b) Để A  là phân số tối giản thì 8n+193 và 4n+3 không có ước chung  nào khác 1

Giả sử (8n+193; 4n+3)=d  với d là số nguyên tố

Ta có: \(\text{8n+193⋮}d;4n+3⋮d\)

Hay: \(8n+193-2\left(4n+3\right)⋮d\)

Suy ra: \(187⋮d\)

Vì d là số nguyên tố nên d=11  hoặc d=17

• Nếu d=11 ta có 4n+3=11k \(\Rightarrow n=\frac{11k-3}{4}\)​

Để 11k chia 4 dư 3  thì k chia 4 dư 1 hay k=4a+1 nên n=11a+2

• Nếu d=17 ta có 4n+3=17t \(\Rightarrow n=\frac{17t-3}{4}\) 

Để 17k chia 4 dư 3 thì t chia 4 dư 3 hay t=4b+3 nên n=17b+12

 Vậy \(\hept{\begin{cases}n\ne11a+2\left(a\in N\right)\\n\ne17b+12\left(b\in N\right)\end{cases}}\)
 

Đặt \(A=\frac{6n+99}{3n+4}=\frac{6n+8+91}{3n+4}=\frac{2\left(3n+4\right)91}{3n+4}+\frac{91}{3n+4}=2+\frac{91}{3n+4}\)

a) Để A là số tự nhiên thì \(91⋮3n+4⋮3n+4\)là ước của 91 hay 3n + 4 \(\in\left\{1;7;13;91\right\}\)

Ta có bảng :

Vậy ......

b) Để A là phân số tối giản thì \(91\text{không chia hết cho 3n + 4 hay 3n + 4 không là ước của 91}\)

=> 3n + 4 ko chia hết cho ước nguyên tố của 91

=> 3n + 4 ko chia hết cho 7 => \(n\ne7k+1\)

=> 3n + 4 ko chia hết cho 13 => \(n\ne13m+3\)