Ta có n + 3 chia hết cho n² + 1     ₍₁₎

Với n > 3 thì n + 3 < n² mà n thuộc N => n + 3 không chia hết cho n² + 1

=> Nếu n = 0 <=> (1) = 0 + 3 : 0² + 1 = 3 : 1 = 3   (TM)

=> Nếu n = 1 <=> (1) = 1 + 3 ; 1² + 1 = 4 : 2 = 2   (TM)

=> Nếu n = 2 <=> (1) = 2 + 3 ; 2² + 1 = 5 : 5 = 1   (TM)

Vậy n = 0 ; 1 ; 2

yamte aaaa

n² + 3 = n.n + 3 = n.(n + 1) - n + (-1) + 4 = n.(n + 1) - (n + 1) + 4

Để n² chia hết cho n + 1 \(\Leftrightarrow\) n.(n + 1) - (n + 1) + 4 chia hết cho n + 1

Vì n.(n + 1) - (n + 1) chia hết cho n + 1 nên suy ra 4 chia hết cho n + 1

\(\Rightarrow\) n + 1 \(\in\) Ư(4) . Vì n là số tự nhiên \(\Leftrightarrow\) n + 1 \(\in\) {1; 2; 4}

Do đó n \(\in\) {0; 1; 3} 

n² + 3 chia hết cho n + 1

=> n² - 1 + 4 chia hết cho n + 1

=> (n - 1)(n + 1) + 4 chia hết cho n + 1

Mà (n - 1)9n + 1) chia hết cho n + 1

=> 4 chia hết cho n + 1

=> n + 1 \(\in\)Ư(4) 

Mà n >=0 => n + 1 >=1

=> n + 1 \(\in\){1; 2; 4}

=> n \(\in\){0; 1; 3}

Bài 1:

Vì số đó chia 30 dư 7, chia 40 dư 17 nên số đó thêm vào 23 thì chia hết cho cả 30 và 40

Gọi số đó là \(x\)

Theo bài ra ta có: (\(x+23\)) ∈ B(30; 40)

30 = 2.3.5; 40 = 2^3.5

BCNN(30; 40) = 2^3.3.5 = 120

(\(x+23\)) ∈ B(120) = {0; 120; 240; 360; 480; 600; 720;840; 960; 1080;...}

\(x\) ∈ {-23; 97; 217; 457; 577; 697; 817; 937;1057;..}

Vì \(x\) là số lớn nhất có 3 chữ số nên \(x\) = 937

Bài 2:

(\(4^{n}\) - 1) ⋮ 5

4\(^{n}\) = \(\overline{..1}\) hoặc 4\(^{n}\) = \(\overline{..6}\)

Nếu 4\(^{n}\) = \(\overline{..1}\) ⇒ n = 0

4\(^{n}\) = \(\overline{..6}\) ⇒ n =2k

Mà n < 20 nên n = 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18

Tổng các số tự nhiên n thỏa mãn đề bài là:

0+ 2 + 4 + +...+ 16+ 18

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là:

2 - 0 = 2

Số số hạng của dãy số trên là:

(18 - 0) : 2 + 1 = 10(số)

Tổng dãy số trên là:

(8 + 0) x 10 : 2 = 40

Kết luận tổng các giá trị của n thỏa mãn đề bài là:

40

4

Do 288 chia n dư 38=>250 chia hết cho n (1)

                              => n > 38 (2)

Do 414 chia n dư 14=> 400 chia hết cho n (3)

Từ (1), (2), (3)=>n thuộc Ư(250,400;n>39)

=> n=50

1

x+15 chia hết cho x+2

x+2 chia hết cho x+2 

=> x+15-(x+2) chia hết ch0 x+2

=>13 chia hết cho x+2

Do x thuộc N => x+2>= 0+2=2

Mà 13 chia hết cho 1 và 13

=> x+2 = 13

=> x=11

1 x n + 4 chia hết cho n + 1

=> n + 4 chia hết cho n + 1

(n + 1) + 3 chia hết cho n+1

=> 3 chia hết cho n + 1

Ư(3) = {+-1;+-3}

n + 1 = -1

=> n = -2

n + 1 = 1

=> n = 0

n + 1 = -3

=> n = -4

n + 1 = 4

=> n = 3

Vì n là số tự nhiên => n \(\in\){0;3}

n+4 chia hết n+1

n+4-(n+1) chia hết n+1

3 chia hết n+1

n^2+4 chia hết n+2

n^2+2n-2n-4+6 chia hết n+2

n(n+2)-2(n+2)+6 chia hết n+2

(n-2)(n+2)+6 chia hết n+2

=> 6 chia hết n+2