* Với \(m\le2\)thì từ (1) suy ra \(n^3-5n+10=2^m\le2^2\Rightarrow n^3-5n+6\le0\)(2)

Mặt khác do \(n\inℕ^∗\)nên \(n^3-5n+6>0,\)điều này mâu thuẫn với (2). Vậy \(m>2\).

* Với  \(m=3\)thì thay vào (1) ta có: \(n^3-5n+10=2^3\Leftrightarrow\left(n^3-2n^2\right)+\left(2n^2-4n\right)-\left(n+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(n-2\right)\left(n^2+2n-1\right)=0\)

Do \(n\inℕ^∗\)nên \(n^2-2n-1>0,\)suy ra \(n-2=0\Leftrightarrow n=2\)

* Với  \(m\ge4\)thì biến đổi (1) thành \(\left(n-2\right)\left(n^2+2n-1\right)=8\left(2^{m-3}-1\right)\)(3)

Nhận thấy: \(\left(n^2+2n-1\right)-\left(n-2\right)=n^2+n+1=n\left(n+1\right)+1\)là số lẻ và \(n\inℕ^∗\),

nên hai số \(n^2+2n-1\)và \(n-2\)là hai số tự nhiên khác tính chẵn lẻ. Do đó từ (3) xảy ra 2 khả năng

a)\(\hept{\begin{cases}n-2=8\\n^2+2n-1=2^{m-3}-1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}n=10\\2^{m-3}=120\end{cases}}\)

Vì  \(2^{m-3}\)là số tự nhiên có số tận cùng khác 0 nên \(2^{m-3}\ne120\). Do vậy trường hợp này không xảy ra.

b)\(\hept{\begin{cases}n-2=2^{m-3}-1\\n^2+2n-1=8\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}2^{m-3}=n-1\\n^2+2n-9=0\end{cases}}\)

Do phương trình \(n^2+2n-9=0\)không có nghiệm tự nhiên nên trường hợp này cũng không xảy ra. 

Vậy có một cặp số nguyên dương duy nhất thỏa mãn là \(\left(m;n\right)=\left(3;2\right).\)

Cách khác : còn có thể xét các trường hợp của \(n\left(n=1;n\ge2\right)\)trước sau đó mới xét \(m\).

Bài 1b:

\(\frac31\) + \(\frac33\) + \(\frac36\) + \(\frac{3}{10}\) + ...+\(\frac{3}{x\left(x+1\right):2}\) = \(\frac{2015}{336}\)

3.(\(\frac11+\frac13+\frac16+\frac{1}{10}+\cdots+\frac{1}{x\left(x+1):2\right.})\) = \(\frac{2015}{336}\)

3.2(\(\frac12+\frac16+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\cdots+\frac{1}{x\left(x+1\right)})=\) \(\frac{2015}{336}\)

6.(\(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+\cdots+\frac{1}{x.\left(x+1\right)})\) = \(\frac{2015}{336}\)

6.(\(\frac11-\frac12\) + \(\frac12\)-\(\frac14\) +...+ \(\frac{1}{x}\) - \(\frac{1}{x+1}\)) = \(\frac{2015}{336}\)

6.(\(\frac11\) - \(\frac{1}{x+1}\)) = \(\frac{2015}{336}\)

1 - \(\frac{1}{x+1}\) = \(\frac{2015}{336}\) : 6

1 - \(\frac{1}{x+1}\) = \(\frac{2015}{2016}\)

\(\frac{1}{x+1}\) = 1 - \(\frac{2015}{2016}\)

\(\frac{1}{x+1}\) = \(\frac{1}{2016}\)

\(x+1\) = 2016

\(x\) = 2016 - 1

\(x\) = 2015

Bài 2:

A = \(\frac{6n+1}{4n+3}\) (n ∈ Z\(^{-}\))

A ∈ Z khi và chỉ khi:

(6n + 1) ⋮ (4n + 3)

(12n + 2) ⋮ (4n + 3)

[3(4n + 3) - 7] ⋮ (4n + 3)

7 ⋮ (4n + 3)

(4n + 3) ∈ Ư(7) = {-7; -1; 1; 7}

n ∈ {- 5/2; -1; - 1/2; 1}

Nếu n = - 1 thì A = (-6 + 1)/(-4 + 3) = 5 (loại)

Nếu n = 1 thì: A = (6 + 1).(4+3) = 1 (loại)

Không có giá trị nào thỏa mãn đề bài hay n ∈ ∅

ta có \(\frac{p}{m-1}=\frac{m+n}{p}\Rightarrow P^2=\left(m-1\right)\left(m+n\right)\)

ta có \(Ư\left(P^2\right)\in\left\{1;p;p^2\right\}\)vì p là số nguyên tố

do \(m+n>m-1;m+n\ne m-1\Rightarrow m+n=p^2;m-1=1\)

\(\Rightarrow m=1+1=2\Rightarrow m+n=2+n=P^2\left(đpcm\right)\)

\(A=3-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}-\frac{1}{12}-\frac{1}{20}-\frac{1}{30}-\frac{1}{42}-\frac{1}{56}\)

\(A=3-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}\right)\)

\(A=3-\left(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5}+\frac{1}{5\cdot6}+\frac{1}{6\cdot7}+\frac{1}{7\cdot8}\right)\)

\(A=3-\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}\right)\)

\(A=3-\left(1-\frac{1}{8}\right)\)

\(A=3-\frac{5}{8}\)

\(A=\frac{19}{8}\)

a. 32 = 2⁵ => n thuộc tập 1; 2; 3; 4

b. \(\left(\frac{1}{x}-\frac{2}{3}\right)^2=\frac{1}{16}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}-\frac{2}{3}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}=\frac{1}{4}+\frac{2}{3}=\frac{11}{12}\)

\(\Rightarrow x=\frac{12}{11}\)

c. p nguyên tố => \(p\ge2\) => 5^2p luôn có dạng A25

=> 5^2p+2015 chẵn

=> 2014^2p + q³ chẵn

Mà 2014^2p chẵn => q³ chẵn => q chẵn => q = 2

=> 5^2p + 2015 = 2014^2p+8

=> 5^2p+2007 = 2014^2p

2014 có mũ dạng 2p => 2014^2p có dạng B6

=> 5^2p = B6 - 2007 = ...9 (vl)

(hihi câu này hơi sợ sai)

d. \(17A=\frac{17^{19}+17}{17^{19}+1}=1+\frac{16}{17^{19}+1}\), \(17B=\frac{17^{18}+17}{17^{18}+1}=1+\frac{16}{17^{18}+1}\)

\(17^{19}+1>17^{18}+1\Rightarrow\frac{16}{17^{19}+1}< \frac{16}{17^{18}+1}\)

\(\Rightarrow17A< 17B\)

\(\Rightarrow A< B\)

de thi chon hoc sinh gioi nay

Câu 2/ Gọi ước chung lớn nhất của a,c là q thì ta có:

a = qa₁; c = qc₁ (a₁, c₁ nguyên tố cùng nhau).

Thay vào điều kiện ta được:

 qa₁b = qc₁d

\(\Leftrightarrow\)a₁b = c₁d

\(\Rightarrow\)  d\(⋮\)a₁

\(\Rightarrow\)d = d₁a₁

Thế ngược lại ta được: b = d₁c₁

Từ đây ta có:

A = aⁿ + bⁿ + cⁿ + dⁿ = (qa₁)ⁿ + (qc₁)ⁿ + (d₁a₁)ⁿ + (d₁c₁)ⁿ

= (a​₁ ⁿ + c₁ ⁿ)(q ⁿ + d₁ ⁿ)

Vậy A là hợp số

\(D=\frac{4}{1^2}+\frac{4}{3^2}+....+\frac{4}{2015^2}\)

\(D=4+2.\left(\frac{2}{3.3}+\frac{2}{5.5}+....+\frac{2}{2015.2015}\right)\)

\(D< 4+2.\left(\frac{2}{1.3}+\frac{2}{3.5}+.....+\frac{2}{2013.2015}\right)\)

\(D< 4+2.\left(1-\frac{1}{2015}\right)\)

\(D< 6\)

mink chỉ làm được vậy thôi bạn ạ, sorry

a, (n+1)(n+3) là SNT <=> 1 ts = 1; ts còn lại là SNT.

TH1: n+1=1 => n=0 => n+3=3 (t/m)

TH2: n+3=1 => n=-2 => n+1=-1 (không t/m)

=> n=0.

b, A không tối giản => ƯCLN(n+3;n-5) >1

=> ƯCLN(8;n-5) >1 => n-5 chẵn => n lẻ.

Ko có số tự nhiên n thõa mãn điều kiện. k mik nhé nếu muốn hỏi j thêm về câu này thì cứ nhắn tin riêng cho mik