Câu hỏi của Cao Chi Hieu

Question

Tìm số nguyên dương n sao cho n⁴ + n³ + 1 là số chính phương

Phan Nghĩa · Accepted Answer

Tham khảo nhé:

https://diendantoanhoc.net/topic/147769-t%C3%ACm-n-in-n-%C4%91%E1%BB%83-n4n31-l%C3%A0-s%E1%BB%91-ch%C3%ADnh-ph%C6%B0%C6%A1ng/

Câu trả lời:

Tham khảo nhé:

https://diendantoanhoc.net/topic/147769-t%C3%ACm-n-in-n-%C4%91%E1%BB%83-n4n31-l%C3%A0-s%E1%BB%91-ch%C3%ADnh-ph%C6%B0%C6%A1ng/

Cao Chi Hieu · Answer

mk xem không hiểu bạn ơi

Câu trả lời:

mk xem không hiểu bạn ơi

zZz Cool Kid_new zZz · Answer

Giả sử $n^4+n^3+1$ là số chính phương.

Do $n$ là số nguyên dương nên $n^4+n^3+1>n^4=\left(n^2\right)^2$

Nên $n^4+n^3+1$ có dạng: $\left(n^2+k\right)^2=n^4+2kn^2+k^2$ với $k\in Z^+$

$\Rightarrow n^4+n^3+1=n^4+2kn^2+k^2$

$\Rightarrow n^3-2kn^2=k^2-1$

$\Rightarrow n^2\left(n-2k\right)=k^2-1\ge0\left(1\right)$

Mà $k^2-1⋮n^2\Rightarrow\orbr{\begin{cases}k^2=1\n^2\le k^2-1\end{cases}}$

Nếu $k^2=1\Rightarrow k=1\Rightarrow n^2\left(n-2\right)=0\Rightarrow n=2$(Thử lại thấy thỏa mãn)

Nếu $n^2\le k^2-1\Rightarrow k^2>k^2-1\ge n^2\Rightarrow k>n\Rightarrow n-2k< 0\Rightarrow n^2\left(n-2k\right)< 0$ trái với (1).

Vậy $n=2$

Câu trả lời:

Giả sử $n^4+n^3+1$ là số chính phương.

Do $n$ là số nguyên dương nên $n^4+n^3+1>n^4=\left(n^2\right)^2$

Nên $n^4+n^3+1$ có dạng: $\left(n^2+k\right)^2=n^4+2kn^2+k^2$ với $k\in Z^+$

$\Rightarrow n^4+n^3+1=n^4+2kn^2+k^2$

$\Rightarrow n^3-2kn^2=k^2-1$

$\Rightarrow n^2\left(n-2k\right)=k^2-1\ge0\left(1\right)$

Mà $k^2-1⋮n^2\Rightarrow\orbr{\begin{cases}k^2=1\n^2\le k^2-1\end{cases}}$

Nếu $k^2=1\Rightarrow k=1\Rightarrow n^2\left(n-2\right)=0\Rightarrow n=2$(Thử lại thấy thỏa mãn)

Nếu $n^2\le k^2-1\Rightarrow k^2>k^2-1\ge n^2\Rightarrow k>n\Rightarrow n-2k< 0\Rightarrow n^2\left(n-2k\right)< 0$ trái với (1).

Vậy $n=2$