với p=2 thì p+10=12   p+14=16 (loại) 

với p=3 thì p+10=13   p+14=17  chọn vì là số nguyên tố

với p>3 thì p có dạng 3k+1   3k+2

với p có dạng 3k+1

=>p+14=3k+1+14=3k+15 chia hết cho 3( loại)

với p có dạng 3k+2

=>p+10=3k+2+10=3k+12 chia hết cho3( loại)

=> p=3

tick cho mình

Bài 4:

Vì P là số nguyên tố lớn hơn 3 nên P là số lẻ

hay P-1 và P+1 là các số chẵn

\(\Leftrightarrow\left(P-1\right)\left(P+1\right)⋮8\)

Vì P là số nguyên tố lớn hơn 3 nên P=3k+1(k∈N) hoặc P=3k+2(k∈N)

Thay P=3k+1 vào (P-1)(P+1), ta được:

\(\left(3k-1+1\right)\left(3k+1+1\right)=3k\cdot\left(3k+2\right)⋮3\)(1)

Thay P=3k+2 vào (P-1)(P+1), ta được:

\(\left(3k+2-1\right)\left(3k+2+1\right)=\left(3k+1\right)\left(3k+3\right)⋮3\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\left(P-1\right)\left(P+1\right)⋮3\)

mà \(\left(P-1\right)\left(P+1\right)⋮8\)

và (3;8)=1

nên \(\left(P-1\right)\left(P+1\right)⋮24\)(đpcm)

thank you bn nha

+ Nếu p = 3 thì \(p^2+14=23\)là số nguyên tố.

+ Nếu p > 3. Vì p là số nguyên tố nên p không chia hết cho 3.

• Nếu p chia 3 dư 1 thì  p = 3k + 1 và \(p^2+14=9k^2+6k+15=3\left(3k^2+2k+5\right)\)chia hết cho 3 nên không phải số nguyên tố.
• Nếu p chia 3 dư 2 thì  p = 3k + 2 và \(p^2+14=9k^2+6k+24=3\left(3k^2+2k+8\right)\)chia hết cho 3 nên không phải số nguyên tố.

Vậy chỉ có p = 3 thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

Nếu p=2 => \(p^2+14\)= 2²+14=18( loại )

Nếu p=3=> \(p^2+14\)=3²+14=23 ( thỏa mãn )

=> Nếu p>3 => p không chia hết cho 3=>\(\hept{\begin{cases}p=3k+1\\p=3k+2\end{cases}}\)(k thuộc N*)

Nếu p= 3k+1 => \(p^2+14\)= (3k+1)²+14=9k²+6k+1+14=9k²+6k+14 chia hết cho 3 ( loại )

Nếu p=3k+2=> \(p^2+14\)= (3k+2)²+14= 9k²+12k+4+14=9k²+12k+18 chia hết cho 3 ( loại )

Vậy p=3

Giải:

Nếu p = 2 thì p+ 2 = 2 + 2 = 4 (loại vì 4 là hợp số)

Nếu p = 3 thì: p + 2 = 3 + 2 = 5(thỏa mãn)

p + 6 = 3 + 6 = 3 + 6 = 9 (loại vì 9 là hợp số)

Nếu p = 4 thì p + 2 = 6(loại vì 6 là hợp số)

Nếu p = 5 thì: p + 2 = 5 + 2 = 7(thỏa mãn)

p + 6 = 5 + 6 = 11(thỏa mãn)

p + 8 = 5 + 8 = 13(thỏa mãn)

p + 12 = 5 + 12 = 17(thỏa mãn)

p + 14 = 5 + 14 = 19(thỏa mãn)

Nếu p > 5 thì: p = 5k + 1; p = 5k + 2; p = 5k + 3; p = 5k + 4

TH1: p = 5k + 1 thì

p + 14 = 5k + 1 + 14 = 5k + (1+ 14) = 5k+ 15 (loại vì đây là hợp số)

Th2: p = 5k + 2 thì:

p + 8 = 5k+ 2 + 8 = 5k + (2+ 8) = 5k + 10 (loại vì đây là hợp số)

TH3: p = 5k+ 3 thì:

p + 12 = 5k + 3 + 12 = 5k + (3+ 12) = 5k+ 15 (loại vì đâu là hợp số)

Th4 p = 5k+ 4 thì:

p + 6 = 5k+ 4 + 6 = 5k + (4+ 6) = 5k+ 10 (loại vì đây là hợp số)

Từ những lập luận trên ta có: p = 5 là số duy nhất thỏa mãn đề bài.

Nếu p = 2

=> p + 3 = 5 (tm)

p + 5 = 7 (tm) 

Nếu p > 2 => p = 2k + 1 

Khi đó p + 3 = 2k + 1 + 3 = 2k + 4 = 2(k + 2) \(⋮\)2 => loại

Vậy p = 2 là giá trị cần tìm

a) Trường hợp 1: P=3

\(\Leftrightarrow P^2+44=3^2+44=53\) là số nguyên tố

Trường hợp 2: P>3 

\(\Leftrightarrow\)P=3k+1 hoặc P=3k+2(\(k\in N\))

Với P=3k+1(\(k\in N\))

\(\Leftrightarrow P^2+44=\left(3k+1\right)^2+44=9k^2+6k+1+44\)

\(\Leftrightarrow P^2+44=3\left(3k^2+2k+15\right)⋮3\)(loại)

Với P=3k+2(\(k\in N\))

\(\Leftrightarrow P^2+44=\left(3k+2\right)^2+44=9k^2+12k+4+44\)

\(\Leftrightarrow P^2+44=3\left(3k^2+4k+16\right)⋮3\)(loại)

Vậy: P=3

b) Với P=3 thì P+10=13 và P+14=17 đều là số nguyên tố

Với P>3 thì \(P=3k+1\) hoặc P=3k+2(\(k\in N\))

Với P=3k+1(\(k\in N\)) thì P+14=3k+1+14=3(k+5) không là số nguyên tố

=> Loại

Với P=3k+2(\(k\in N\)) thì P+10=3k+2+10=3(k+4) không là số nguyên tố

=> Loại

Vậy: P=3

Bài 1 câu a:

Nếu: p = 2 thì: p + 2 = 4 (loại vì 4 là hợp số)

Nếu: p = 3 thì p + 2 = 3 + 2 = 5 (thỏa mãn);

p + 4 = 3 + 4 = 7 (thỏa mãn)

Nếu p > 3 thì p = 3k+ 1 hoặc p = 3k + 2

TH1: p = 3k+ 1 thì:

p + 2 = 3k+ 1 + 2 = 3k + (1 + 2) = 3k + 3 (loại vì là hợp số)

th2: nếu p = 3k + 2 thì:

p + 4 = 3k + 2+ 4 = 3k + (2+ 4) = 3k + 6(loại vì là hợp số)

Từ những lập luận và phân tích trên ta có:

p = 3 là số duy nhất thỏa mãn đề bài.

Nếu p = 2 ⇒ p+ 2 = 4 ( loại)

Nếu p = 3 ⇒ p + 2 = 2 + 3 = 5 ( thỏa mãn)

                   p + 10 = 3 + 10 = 13 ( thỏa mãn)

Nếu p > 3 ⇒ p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2

Nếu  p =  3k+ 1 ⇒ p +2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 ⋮ 3 (loại)

Nếu p = 3k + 2 ⇒ p + 10 = 3k + 2 + 10 = 3k + 12 ⋮ 3 (loại)

Vậy p = 3 là số nguyên tố duy nhất thỏa mãn yêu cầu đề bài