x\(=\)y\(=\)0      va   băng âm một 

\(x^2+\left(x+1\right)^2=y^4+\left(y+1\right)^4\)

\(\Leftrightarrow x^2-y^4=\left(y+1\right)^4-\left(x+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-\left(y^2\right)^2=\left(\left(y+1\right)^2\right)^2-\left(x+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y^2\right)\left(x+y^2\right)=\left(\left(y+1\right)^2+x+1\right)\left(\left(y+1\right)^2-x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y^2\right)\left(x+y^2\right)=\left(y^2+2y+1+x+1\right)\left(y^2+2y+1-x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y^2\right)\left(x+y^2\right)=\left(y^2+2y+x+2\right)\left(y^2+2y-x\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-y^2\right)}{\left(y^2+2y-x\right)}=\frac{\left(y^2+2y+x+2\right)}{\left(x+y^2\right)}\)

Đến đây dễ dàng tính rồi nhé -_<

Nhận thấy : x = y = 0   vàâm một   x = y = - 1  thỏa mãn phương trình.

Xét x và y khác không , khác âm một:

\(Đặt:...x^2+\left(x+1\right)^2=y^4+\left(y+1\right)^4=a.\)   Thì   \(a\in Z\)

- Xem phương trình bậc hai ẩn x : \(x^2+\left(x+1\right)^2=a\Leftrightarrow2x^2+2x+(1-a)=0.\)Phương trình phải có nghiệm nguyên, Có :\(\Delta^,=1-2\left(1-a\right)=(2a-1)>0\Leftrightarrow a>\frac{1}{2}.\)\(,.a\in Z\) 

  Các nghiệm  là         \(x_1=\frac{-1-\sqrt{2a-1}}{2}\)     \(x_2=\frac{-1+\sqrt{2a-1}}{2}.\)  Các nghiệm này là các số nguyên. Điều này xẩy ra khi a = 25   và  khi đó x₁ = - 4 ;  x₂ =  3 . Tuy nhiên khi a = 25 thì không có số nguyên y nào thỏa mãn  \(y^4+\left(y+1\right)^4=25\)      (*)  

Phương trình (*) có nghiệm thì         - 3 < y < 3,     ( Vì    ( - 3)⁴ =  3⁴ = 81> 25 )  Kiểm tra các giá trị của y :  - 2 ;  1 ; 2 đều không thỏa mãn.  

 Lưu ý:  x²   và   (x + 1)²  là bình phương của hai số nguyên liên tiếp,  Ta biết rằng 3² + 4² = 5²   có duy nhất bộ ba này. Do đó x² + (x + 1)² = a  có nghiệm nguyên chỉ khi a = 25 và x = - 4  ,  x = 3 

Trả lời :  Phương trình có nghiệm:     x = y = 0  và x = y = - 1