Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
Gọi số tự nhiên thỏa mãn những tính chất của đề bài là $n$
Vì $n$ chia $17$ dư $4$ , chia $19$ dư $11$ nên:
\(n=17k+4=19t+11(k,t\in\mathbb{N})\)
\(\Rightarrow 19t+7=17k\vdots 17\)
\(\Leftrightarrow 17t+2t+7\vdots 17\)
\(\Leftrightarrow 2t+7\vdots 17\)
Do đó \(2t+7=17m\) với $m$ là một số tự nhiên nào đó.
\(\Leftrightarrow 2t=17m-7\)
Vì $2t$ chẵn nên $17m-7$ cũng chẵn. Do đó $m$ lẻ
\(\Rightarrow m\geq 1\Rightarrow 2t=17m-7\geq 10\)
\(\Leftrightarrow t\geq 5\)
Suy ra \(n=19t+11\geq 19.5+11=106\)
Thử lại thấy đúng
Vậy số $n$ nhỏ nhất thỏa mãn đkđb là $106$
Bài 3:
-Nếu $p$ chẵn thì $p+10$ chẵn. Mà $p+10>2$ nên $p+10$ không thể là số nguyên tố.
-Nếu $p$ lẻ thì $p+3$ chẵn. Mà $p+3>2$ nên $p+3$ không thể là số nguyên tố.
Vậy không tồn tại số nguyên tố $p$ nào thỏa mãn $p+3$ và $p+10$ đồng thời là số nguyên tố.
Bài 2:
Số tự nhiên chia 11 dư 12 nghĩa là chia 11 dư 1 nhé bạn.
Gọi số tự nhiên thỏa mãn đề bài là $n$
Theo bài ra ta có: \(n=7k+5=11t+1\)
\(\Rightarrow 11t-4=7k\vdots 7\)
\(\Leftrightarrow 11t-4-7\vdots 7\)
\(\Leftrightarrow 11(t-1)\vdots 7\Leftrightarrow t-1\vdots 7\) (do 7 và 11 nguyên tố cùng nhau)
Do đó \(t-1=7m\Leftrightarrow t=7m+1\)
\(\Rightarrow n=11t+1=11(7m+1)+1=77m+12\)
Vậy số n chia cho 77 dư 12
Bài 4:
\(S=2^n+3^n+4^n+5^n+6^n\)
Với \(n\in\mathbb{N}^* \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2^n \text{ chẵn}\\ 3^n\text{ lẻ}\\ 4^n \text{chẵn}\\ 5^n \text{lẻ}\\ 6^n\text{chẵn}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow S=2^n+3^n+4^n+5^n+6^n\) là một số chẵn
Do đó \(S\vdots 2\)
Sửa đề: n chia 19 dư 13
n chia 4 dư 3
=>n-3⋮4
=>n-3+28⋮4
=>n+25⋮4(1)
n chia 17 dư 9
=>n-9⋮17
=>n-9+34⋮17
=>n+25⋮17(2)
n chia 19 dư 13
=>n-13⋮19
=>n-13+38⋮19
=>n+25⋮19(3)
Từ (1),(2),(3) suy ra n+25∈BC(4;17;19)
=>n+25∈B(1292)
=>n+25∈{1292;2584;3876;5168;6460;7752;9044;10336;...}
mà n+25<=9999+25=10024(do n là số tự nhiên có 4 chữ số và lớn nhất có thể)
nên n+25=9044
=>n=9044-25=9019
Bài 2:
Vì số đó chia 3 dư 1 chia 4 dư 2 chia 5 dư 3 chia 6 dư 4 và chia hết 11 nên số đó thêm vào 240 thì chia hết cả 3; 4; 5; 6; và 11.
Khi đó gọi số cần tìm là a thì theo bài ra ta có:
(a + 240) ⋮ 3; 4; 5; 6; 11
(a +240) ∈ BC(3; 4; 5; 6; 11)
3 = 3; 4 = 2^2; 5 = 5; 6 = 2.3; 11 = 11
BCNN(3; 4; 5; 6; 11) = 2^2.3.5.11 = 660
(a + 240) ∈ B(660) = {0; 660; 1320;..}
a ∈ {- 240; 420; 1080;..}
Vì a nhỏ nhất nên a = 420
Câu 1a:
3.k.(k + 1)
= k.(k+1).(k - k + 2 + 1)
= k.(k + 1).[(k + 2) - (k -1)]
= k.(k+1).(k+2) - (k-1)k.(k+1) (đpcm)
Câu 1 b:
A = 1.2 + 2.3 + ..+ n.(n+1)
3A = 3.1.2 + 3.2.3 + ..+ 3.n.(n +1)
Áp dụng công thức ở câu a ta có:
3A = 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + ...+ n(n+1)(n+2) - (n-1).n.(n+1)
3A = n.(n+1)(n+2)
A = n(n+1)(n+2)/3
Theo bài ra ta có:
A=4a+3
=17b+9 (a,b,c \(\in N\))
=19c+13
Mặt khác: A+25 = 4a+3+25=4a+28=4(a+7)
=17b+9+25=17b+34=17(b+2)
=19c+13+25=19c+38=19(c+2)
Như vậy A+25 chia hết cho 4;17;19 (vì có chứa thừa số 4;17 và 19). Mà (4;17;19) = 1 \(\Rightarrow\)A+25 chia hết cho 1292
\(\Rightarrow\)A+25=1292k (\(k\in\)N*)
\(\Rightarrow\)A=1292k - 25 = 1292k - 1292 + 1267 = 1292(k-1)+1267
Do1267<1292 nên 1267 là số dư trong phép chia a cho 1292
ta có : n / 4 dư 3 => n+1 chia hết cho 4=>n+25 chia hết cho 4
n/17 dư 9=>n+8 chia hết cho 17=> n+25 chia hết cho 17
n/19 dư 13 => n +6 chai hết cho 19=>n+25 chia hết cho 19
=>n+25 chia hết cho 4;17;19
=>n+25 thuộc BC(4;17;19) mà n nhỏ nhất
=>a+25 thuộc BCNN(4;17;19)=1292
=>n=1267