• Nếu dd𝑑là ước chẵn của 12 (tức là d∈{2,4,6,12}d is an element of start-set 2 comma 4 comma 6 comma 12 end-set𝑑∈{2,4,6,12}), thì dd𝑑phải là ước của 3n+43 n plus 43𝑛+4. Vì 444là số chẵn, nên 3n3 n3𝑛phải là số chẵn. Điều này xảy ra khi nn𝑛là số chẵn.
• • Nếu nn𝑛là số chẵn, n=2kn equals 2 k𝑛=2𝑘( k∈Nk is an element of the natural numbers𝑘∈ℕ).
  • 3n+4=3(2k)+4=6k+4=2(3k+2)3 n plus 4 equals 3 open paren 2 k close paren plus 4 equals 6 k plus 4 equals 2 open paren 3 k plus 2 close paren3𝑛+4=3(2𝑘)+4=6𝑘+4=2(3𝑘+2).
  • 9n+24=9(2k)+24=18k+24=2(9k+12)9 n plus 24 equals 9 open paren 2 k close paren plus 24 equals 18 k plus 24 equals 2 open paren 9 k plus 12 close paren9𝑛+24=9(2𝑘)+24=18𝑘+24=2(9𝑘+12).
  • Cả hai số 9n+249 n plus 249𝑛+24và 3n+43 n plus 43𝑛+4đều chia hết cho 2, nên chúng không thể là số nguyên tố cùng nhau.
• Nếu d=3d equals 3𝑑=3(hoặc d=6,12d equals 6 comma 12𝑑=6,12), thì dd𝑑phải là ước của 3n+43 n plus 43𝑛+4.
• • 3n3 n3𝑛luôn chia hết cho 3.
  • 444không chia hết cho 3.
  • Do đó, 3n+43 n plus 43𝑛+4không chia hết cho 3.
  • Vậy dd𝑑không thể là 3.

• Nếu nn𝑛là số chẵn, dd𝑑có ước là 2, nên d≥2d is greater than or equal to 2𝑑≥2.
• Nếu nn𝑛là số lẻ, n=2k+1n equals 2 k plus 1𝑛=2𝑘+1( k∈Nk is an element of the natural numbers𝑘∈ℕ).
• • 3n+4=3(2k+1)+4=6k+3+4=6k+73 n plus 4 equals 3 open paren 2 k plus 1 close paren plus 4 equals 6 k plus 3 plus 4 equals 6 k plus 73𝑛+4=3(2𝑘+1)+4=6𝑘+3+4=6𝑘+7.
  • 9n+24=9(2k+1)+24=18k+9+24=18k+33=3(6k+11)9 n plus 24 equals 9 open paren 2 k plus 1 close paren plus 24 equals 18 k plus 9 plus 24 equals 18 k plus 33 equals 3 open paren 6 k plus 11 close paren9𝑛+24=9(2𝑘+1)+24=18𝑘+9+24=18𝑘+33=3(6𝑘+11).
  • 3n+4=6k+73 n plus 4 equals 6 k plus 73𝑛+4=6𝑘+7.
  • Ta đã chứng minh 3n+43 n plus 43𝑛+4không chia hết cho 3.
  • dd𝑑là ước của 12, nhưng dd𝑑không thể là 2, 3, 4, 6, 12. Vậy dd𝑑chỉ có thể là 1.

9n+24 = 3(3n+4) +12 

=> 12 và 3n+4 nguyên tố cùng nhau

+ n =2 k  =>   12 và 3n+4 có ước chung là 12 ( loại)

+ n =2k+1 => 12 ; 6k +7 = 6(k+1) +1  nguyên tố cùng nhau

Vậy n là số lẻ

Vũ Hoa Hiền

n là một số n tố

đặt d là ƯCLN của 9n+24 và 3n+4

suy ra  9n+24 chia hết cho d

            3n+4 chia hết cho d suy ra 3(3n+4) chia hết cho d

suy ra  (9n+24)-(9n+12)=12 chia hết cho d suy ra d= Ư (12)=(1,2,3,4,6,12)

d khác 3 vì 3n+4 không chia hết cho 3

d khác 4, 6,12 vì d là số n tố

d khác 2 vì d lẻ

suy ra d=1 (ĐPCM)

Lời giải:

Gọi $d=ƯCLN(9n+24, 3n+4)$

$\Rightarrow 9n+24\vdots d; 3n+4\vdots d$

$\Rightarrow 9n+24-3(3n+4)\vdots d$

$\Rightarrow 12\vdots d$

Để $9n+24, 3n+4$ nguyên tố cùng nhau thì $d=1$, tức là $(12,d)=1$. Mà $12=2^2.3$ nên $(12,d)=1$ khi mà $(2,d)=(3,d)=1$

$\Leftrightarrow 9n+24, 3n+4$ không đồng thời chia hết cho 2 và 3.

------------------------

$9n+24, 3n+4$ không đồng thời chia hết cho 2 khi mà $3n+4\not\vdots 2$

$\Leftrightarrow 3n\not\vdots 2$

$\Rightarrow n\not\vdots 2$ hay $n$ lẻ.

$9n+24, 3n+4$ không đồng thời chia hết cho 3 khi mà $3n+4\not\vdots 3$ (do $9n+24$ đã chia hết cho 3 rồi) 

Hiển nhiên $3n+4\not\vdots 3$ do $4\not\vdots 3$

Vậy tóm lại chỉ cần $n$ lẻ là 2 số trên nguyên tố cùng nhau

gọi d là ước chunng của 9n+24 và 3n+4

ta có : 9n+24\(⋮\)d

và 3n+4\(⋮\)d

=>9n+24-3n+4\(⋮\)d

=>6n+20\(⋮\)d

để 9n+24 và 3n+4 là 2 số nguyên tố cùng nhau=>d=1,-1

bí

Gọi ƯCLN(9n+24; 3n+4) là d. Ta có:

9n+24 chia hết cho d

3n+4 chia hết cho d => 9n+12 chia hết cho d

=> 9n+24-(9n+12) chia hết cho d

=> 12 chia hết cho d

=> d thuộc Ư(12)

Giả sử 9n+24 và 3n+4 không nguyên tố cùng nhau

=> 3n+4 chia hết cho 4

=> 3n+4-4 chia hết cho 4

=> 3n chia hết cho 4

=> n = 4k

=> Để 9n+24 và 3n+4 nguyên tố cùng nhau thì n khác 4k

1. Xét n chẵn, hai số đều chẵn => ko nguyên tố cùng nhau 
2. Xét n lẻ, ta chứng minh 2 số này luôn nguyên tố cùng nhau 
9n+24 = 3(3n+8) 
Vì 3n+4 không chia hết cho 3, nên ta xét tiếp 3n+8 
Giả sử k là ước số của 3n+8 và 3n+4, đương nhiên k lẻ (a) 
=> k cũng là ước số của (3n+8)-(3n+4) = 4 => k chẵn (b) 
Từ (a) và (b) => Mâu thuẫn 
Vậy với n lẻ, 2 số đã cho luôn luôn nguyên tố cùng nhau

ai trình bày bài bản tớ sẽ tick choa!