Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
d) Điều kiện x>0. Áp dụng công thức đổi cơ số, ta có :
\(\log_2x+\log_3x+\log_4x=\log_{20}x\)
\(\Leftrightarrow\log_2x+\frac{\log_2x}{\log_23}+\frac{\log_2x}{\log_24}=\frac{\log_2x}{\log_220}\)
\(\Leftrightarrow\log_2x\left(1+\frac{1}{\log_23}+\frac{1}{2}+\frac{1}{\log_220}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\log_2x\left(\frac{3}{2}+\log_22-\log_{20}2\right)=0\)
Ta có \(\frac{3}{2}+\log_22-\log_{20}2>\frac{3}{2}+0-1>0\)
Do đó, từ phương trình trên, ta phải có \(\log_2x=0\) hay \(x=2^0=1\)
Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là \(x=1\)
c) Điều kiện x>0, đưa về cùng cơ số 5, ta có :
\(\log_5x^3+3\log_{25}x+\log_{\sqrt{25}}\sqrt{x^3}=\frac{11}{2}\)
\(\Leftrightarrow3\log_5x+3\log_{5^2}x+\log_{5^{\frac{3}{2}}}x^{\frac{3}{2}}=\frac{11}{2}\)
\(\Leftrightarrow3\log_5x+3\frac{1}{2}\log_5x+\frac{3}{2}.\frac{2}{3}\log_5x=\frac{11}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{11}{2}\log_5x=\frac{11}{2}\)
\(\Leftrightarrow\log_5x=1\)
\(\Leftrightarrow x=5^1=5\) thỏa mãn
Vậy phương trình chỉ có 1 nghiệ duy nhất \(x=5\)
1/ ĐKXĐ: \(x>0\)
\(log_{5x}5-log_{5x}x+log_5^2x=1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{log_55x}-\dfrac{1}{log_x5x}+log_5^2x=1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{1+log_5x}-\dfrac{1}{1+log_x5}+log_5^2x-1=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{1+log_5x}-\dfrac{log_5x}{1+log_5x}+\left(log_5x-1\right)\left(log_5x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1-log_5x}{1+log_5x}-\left(1-log_5x\right)\left(1+log_5x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(1-log_5x\right)\left(\dfrac{1}{1+log_5x}-\left(1+log_5x\right)\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}1-log_5x=0\\\dfrac{1}{1+log_5x}=1+log_5x\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}1-log_5x=0\\1+log_5x=1\\1+log_5x=-1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=1\\x=\dfrac{1}{25}\end{matrix}\right.\)
2/ ĐKXĐ: \(x>0\)
\(log_5\left(5^x-1\right).log_{25}\left(5^{x+1}-5\right)=1\)
\(\Leftrightarrow log_5\left(5^x-1\right).log_{5^2}5\left(5^x-1\right)=1\)
\(\Leftrightarrow log_5\left(5^x-1\right)\left(1+log_5\left(5^x-1\right)\right)=2\)
\(\Leftrightarrow log_5^2\left(5^x-1\right)+log_5\left(5^x-1\right)-2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}log_5\left(5^x-1\right)=1\\log_5\left(5^x-1\right)=-2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}5^x-1=5\\5^x-1=\dfrac{1}{25}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}5^x=6\\5^x=\dfrac{26}{25}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=log_56\\x=log_5\dfrac{26}{25}\end{matrix}\right.\)
3/ ĐKXĐ: \(x>0\)
\(2log_3^2x-log_3x.log_3\left(\sqrt{2x+1}-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow log_3x\left(2log_3x-log_3\left(\sqrt{2x+1}-1\right)\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}log_3x=0\Rightarrow x=1\\2log_3x-log_3\left(\sqrt{2x+1}-1\right)=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Xét (1): \(log_3x^2=log_3\left(\sqrt{2x+1}-1\right)\Leftrightarrow x^2=\sqrt{2x+1}-1\)
\(\Leftrightarrow x^2+1=\sqrt{2x+1}\Leftrightarrow x^4+2x^2+1=2x+1\)
\(\Leftrightarrow x^4+2x^2-2x=0\Leftrightarrow x\left(x^3+2x-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(l\right)\\x^3+2x-2=0\end{matrix}\right.\) ????
Pt bậc 3 kia có nghiệm rất xấu, chỉ giải được bằng công thức Cardano mà bậc phổ thông không học, nên bạn có chép đề sai không vậy?
Câu 1:
Để ý rằng \((2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=1\) nên nếu đặt
\(\sqrt{2+\sqrt{3}}=a\Rightarrow \sqrt{2-\sqrt{3}}=\frac{1}{a}\)
PT đã cho tương đương với:
\(ma^x+\frac{1}{a^x}=4\)
\(\Leftrightarrow ma^{2x}-4a^x+1=0\) (*)
Để pt có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thì pt trên phải có dạng pt bậc 2, tức m khác 0
\(\Delta'=4-m>0\Leftrightarrow m< 4\)
Áp dụng hệ thức Viete, với $x_1,x_2$ là hai nghiệm của pt (*)
\(\left\{\begin{matrix} a^{x_1}+a^{x_2}=\frac{4}{m}\\ a^{x_1}.a^{x_2}=\frac{1}{m}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{x_2}(a^{x_1-x_2}+1)=\frac{4}{m}\\ a^{x_1+x_2}=\frac{1}{m}(1)\end{matrix}\right.\)
Thay \(x_1-x_2=\log_{2+\sqrt{3}}3=\log_{a^2}3\) :
\(\Rightarrow a^{x_2}(a^{\log_{a^2}3}+1)=\frac{4}{m}\)
\(\Leftrightarrow a^{x_2}(\sqrt{3}+1)=\frac{4}{m}\Rightarrow a^{x_2}=\frac{4}{m(\sqrt{3}+1)}\) (2)
\(a^{x_1}=a^{\log_{a^2}3+x_2}=a^{x_2}.a^{\log_{a^2}3}=a^{x_2}.\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow a^{x_1}=\frac{4\sqrt{3}}{m(\sqrt{3}+1)}\) (3)
Từ \((1),(2),(3)\Rightarrow \frac{4}{m(\sqrt{3}+1)}.\frac{4\sqrt{3}}{m(\sqrt{3}+1)}=\frac{1}{m}\)
\(\Leftrightarrow \frac{16\sqrt{3}}{m^2(\sqrt{3}+1)^2}=\frac{1}{m}\)
\(\Leftrightarrow m=\frac{16\sqrt{3}}{(\sqrt{3}+1)^2}=-24+16\sqrt{3}\) (thỏa mãn)
Câu 2:
Nếu \(1> x>0\)
\(2017^{x^3}>2017^0\Leftrightarrow 2017^{x^3}>1\)
\(0< x< 1\Rightarrow \frac{1}{x^5}>1\)
\(\Rightarrow 2017^{\frac{1}{x^5}}> 2017^1\Leftrightarrow 2017^{\frac{1}{x^5}}>2017\)
\(\Rightarrow 2017^{x^3}+2017^{\frac{1}{x^5}}> 1+2017=2018\) (đpcm)
Nếu \(x>1\)
\(2017^{x^3}> 2017^{1}\Leftrightarrow 2017^{x^3}>2017 \)
\(\frac{1}{x^5}>0\Rightarrow 2017^{\frac{1}{x^5}}>2017^0\Leftrightarrow 2017^{\frac{1}{5}}>1\)
\(\Rightarrow 2017^{x^3}+2017^{\frac{1}{x^5}}>2018\) (đpcm)
Điều kiện x>1
Từ (1) ta có \(\log_{\sqrt{3}}\frac{x+1}{x-1}>\log_34\) \(\Leftrightarrow\frac{x+1}{x-1}>2\) \(\Leftrightarrow\) 1<x<3
Đặt \(t=\log_2\left(x^2-2x+5\right)\)
Tìm điều kiện của t :
- Xét hàm số \(f\left(x\right)=\log_2\left(x^2-2x+5\right)\) với mọi x thuộc (1;3)
- Đạo hàm : \(f\left(x\right)=\frac{2x-2}{\ln2\left(x^2-2x+5\right)}>\) mọi \(x\in\left(1,3\right)\)
Hàm số đồng biến nên ta có \(f\left(1\right)\) <\(f\left(x\right)\) <\(f\left(3\right)\) \(\Leftrightarrow\)2<2<3
- Ta có \(x^2-2x+5=2'\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x-1\right)^2=2'-4\)
Suy ra ứng với mõi giá trị \(t\in\left(2,3\right)\) ta luôn có 1 giá trị \(x\in\left(1,3\right)\)
Lúc đó (2) suy ra : \(t-\frac{m}{t}=5\Leftrightarrow t^2-5t=m\)
Xét hàm số : \(f\left(t\right)=t^2-5t\) với mọi \(t\in\left(2,3\right)\)
- Đạo hàm : \(f'\left(t\right)=2t-5=0\Leftrightarrow t=\frac{5}{2}\)
- Bảng biến thiên :
| x | 2 \(\frac{5}{2}\) 3 |
| y' | + 0 - |
| y | -6 -6 -\(\frac{25}{4}\) |
Để hệ có 2 cặp nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow-6>-m>-\frac{25}{4}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{25}{4}\) <m<6
a) Điều kiện: \(\left\{{}\begin{matrix}4x+2>0\\x-1>0\\x>0\end{matrix}\right.\)
Hay là: \(x>1\)
Khi đó biến đổi pương trình như sau:
\(\ln\dfrac{4x+2}{x-1}=\ln x\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{4x+2}{x-1}=x\)
\(\Leftrightarrow4x+2=x\left(x-1\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2-5x-2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{5+\sqrt{33}}{2}\\x_2=\dfrac{5-\sqrt{33}}{2}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy nghiệm của phương trình là: \(x=\dfrac{5+\sqrt{33}}{2}\)
b) Điều kiện: \(\left\{{}\begin{matrix}3x+1>0\\x>0\end{matrix}\right.\)
Hay là: \(x>0\)
Biến đổi phương trình như sau:
\(\log_2\left(3x+1\right)\log_3x-2\log_2\left(3x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\log_2\left(3x+1\right)\left(\log_3x-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\log_2\left(3x+1\right)=0\\\log_3x=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x+1=2^0\\x=3^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(loại\right)\\x=9\end{matrix}\right.\)
Vậy nghiệm là x = 9.
Gọi \(s = sin x , \textrm{ }\textrm{ } c = cos x\). Vì \(x \in \left[\right. 0 , \pi / 4 \left]\right.\) nên \(c > 0\). Chia cả phương trình cho \(cos x\) được (không làm mất nghiệm vì \(cos x \neq 0\) trên đoạn này). Đặt \(t = tan x = \frac{s}{c} \in \left[\right. 0 , 1 \left]\right.\). Sau khi biến đổi ta được:
\(\frac{1}{cos x} \left[\right. \left(\right. 4 - 6 m \left.\right) s^{3} + 3 \left(\right. 2 m - 1 \left.\right) s + 2 \left(\right. m - 2 \left.\right) s^{2} c - \left(\right. 4 m - 3 \left.\right) c \left]\right. = 0\)tương đương (sau tính toán và đưa về \(t\)):
\(\left(\right. t - 1 \left.\right) \left(\right. t^{2} - 2 m \textrm{ } t + 4 m - 3 \left.\right) = 0.\)Vậy nghiệm ứng với \(t\) là:
\(t = 1 \left(\right. \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} \left.\right) ,\)hoặc \(t\) là nghiệm của đa thức bậc hai
\(q \left(\right. t \left.\right) = t^{2} - 2 m t + 4 m - 3 = 0.\)Ta cần số nghiệm \(t \in \left[\right. 0 , 1 \left]\right.\). Lưu ý \(t = 1\) luôn là một nghiệm (tương ứng \(x = \pi / 4\)). Để phương trình chỉ có một nghiệm trên \(\left[\right. 0 , \pi / 4 \left]\right.\) tức là không có nghiệm \(t\) nào khác nằm trong \(\left[\right. 0 , 1 \left.\right)\). Do đó phải đảm bảo rằng phương trình \(q \left(\right. t \left.\right) = 0\) không có nghiệm trong đoạn \(\left[\right. 0 , 1 \left.\right)\).
Phân tích \(q \left(\right. t \left.\right)\):
- Đặt \(D_{q} = 4 \left(\right. \left(\right. m - 1 \left.\right) \left(\right. m - 3 \left.\right) \left.\right)\). Nếu \(1 < m < 3\) thì \(D_{q} < 0\) → \(q\) không có nghiệm thực → không có nghiệm trong \(\left[\right. 0 , 1 \left.\right)\) → duy nhất \(t = 1\).
- Nếu \(m \geq 3\) thì hai nghiệm của \(q\) là \(m \pm \sqrt{\left(\right. m - 1 \left.\right) \left(\right. m - 3 \left.\right)}\); cả hai đều \(> 1\) (không rơi vào \(\left[\right. 0 , 1 \left.\right)\)) → chỉ \(t = 1\).
- Nếu \(m \leq 1\) thì \(q\) có nghiệm thực; xét riêng:
- Nếu \(m < \frac{3}{4}\) thì một nghiệm của \(q\) âm và nghiệm kia \(> 1\) → không có nghiệm trong \(\left[\right. 0 , 1 \left.\right)\) → chỉ \(t = 1\).
- Nếu \(m = \frac{3}{4}\) thì \(q \left(\right. 0 \left.\right) = 0\) (tức \(t = 0\) là nghiệm) → hai nghiệm trong \(\left[\right. 0 , \frac{\pi}{4} \left]\right.\): \(t = 0\) và \(t = 1\) → không thỏa yêu cầu “duy nhất”.
- Nếu \(\frac{3}{4} < m < 1\) thì \(q\) có đúng một nghiệm nằm trong \(\left(\right. 0 , 1 \left.\right)\) → cộng với \(t = 1\) ta có ít nhất hai nghiệm → không thỏa.
- Nếu \(m = 1\) thì \(q \left(\right. t \left.\right) = \left(\right. t - 1 \left.\right)^{2}\) và duy nhất nghiệm trong đoạn là \(t = 1\) (bội) → vẫn một nghiệm.
Kết luận: phương trình có đúng một nghiệm \(x \in \left[\right. 0 , \pi / 4 \left]\right.\) khi và chỉ khi
\(\boxed{\textrm{ } m < \frac{3}{4} \text{ho}ặ\text{c} m \geq 1. \textrm{ }}\)(Nói ngắn: tất cả \(m\) ngoại trừ đoạn \(\left[\right. \frac{3}{4} , 1 \left.\right)\); điểm \(m = \frac{3}{4}\) bị loại vì lúc đó có thêm nghiệm \(x = 0\).)
đợi xíu nha , mik đang xem
kaka