Ta có: \(\begin{cases}x+y=5\\ 2x-3y=5m-10\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2x+2y=10\\ 2x-3y=5m-10\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}2x+2y-2x+3y=10-5m+10=-5m+20\\ x+y=5\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}5y=-5m+20\\ x=5-y\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=-m+4\\ x=5-\left(-m+4\right)=5+m-4=m+1\end{cases}\)

\(2x^2-y^2\)

\(=2\left(m+1\right)^2-\left(-m+4\right)^2\)

\(=2\left(m^2+2m+1\right)-\left(m^2-8m+16\right)\)

\(=2m^2+4m+2-m^2+8m-16=m^2+12m-14\)

\(=m^2+12m+36-50=\left(m+6\right)^2-50\ge-50\forall m\)

Dấu '=' xảy ra khi m+6=0

=>m=-6

b: Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\frac{1}{m}<>\frac{1}{-1}\)

=>m<>-1

c: Để hệ có nghiệm duy nhất thì m<>-1

\(\begin{cases}x+y=2\\ mx-y=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x+y+mx-y=2+1=3\\ x+y=2\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x\left(m+1\right)=3\\ x+y=2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=\frac{3}{m+1}\\ y=2-x=2-\frac{3}{m+1}=\frac{2m+2-3}{m+1}=\frac{2m-1}{m+1}\end{cases}\)

x-3y=5

=>\(\frac{3}{m+1}-\frac{3\left(2m-1\right)}{m+1}=5\)

=>3-3(2m-1)=5(m+1)

=>3-6m+3=5m+5

=>-6m+6=5m+5

=>-11m=-1

=>\(m=\frac{1}{11}\) (nhận)

d: xy<0

=>\(\frac{3}{m+1}\cdot\frac{2m-1}{m+1}<0\)

=>3(2m-1)<0

=>2m-1<0

=>\(m<\frac12\)

Kết hợp với m<>-1, ta được: \(\begin{cases}m<\frac12\\ m<>-1\end{cases}\)

e: x+2y>4

=>\(\frac{3}{m+1}+\frac{2\left(2m-1\right)}{m+1}>4\)

=>3+2(2m-1)>4(m+1)

=>3+4m-2>4m+4

=>1>4(sai)

=>m∈∅

f: Để x,y nguyên thì 3⋮m+1 và 2m-1⋮m+1

=>3⋮m+1 và 2m+2-3⋮m+1

=>3⋮m+1 và -3⋮m+1

=>3⋮m+1

=>m+1∈{1;-1;3;-3}

=>m∈{0;-2;2;-4}

\(\hept{\begin{cases}x+y=4\left(1\right)\\2x+3y=m\left(2\right)\end{cases}}\)

từ \(\left(1\right)\)ta có: \(x=4-y\)\(\left(3\right)\)

thay \(\left(3\right)\) vào  \(\left(2\right)\)ta được 

\(2.\left(4-y\right)+3y=m\)

\(8-2y+3y=m\)

\(8+y=m\)

\(y=m-8\) \(\left(4\right)\)

hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi pt \(\left(4\right)\)  có nghiệm duy nhất 

ta thấy pt (4) luôn có nghiệm duy nhất với \(\forall y\in R\)

vậy \(\forall y\in R\)thì hệ pt đã cho có nghiệm  \(\left(x;y\right)=\left(4-y;m-8\right)\)

theo bài ra \(\hept{\begin{cases}x>0\\y< 0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4-y>0\\m-8< 0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y>4\\m< 8\end{cases}}\)

vậy \(m< 8\)  là tập hợp các giá trị cần tìm 

Ta có :

\(\hept{\begin{cases}x+y=4\\2x+3y=m\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=4\\x+x+y+y+y=m\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=4\\4+4+y=m\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=4-x\\8+4-x=m\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=4-12+m\\x=12-m\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=m-8\\x=12-m\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\)\(x+y=m-8+12-m=4\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=4-8\\x=12-4\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=-4\\x=8\end{cases}}}\)

Thoả mãn \(x>0;y< 0\)

Vậy \(x=8\) và \(y=-4\)

Hệ pt có nghiệm thỏa mãn x+y = 1 => m = 1

Khi đó : hệ pt <=> x+y = 1

                             2x-y = 0

<=> x+y=1

       x+y+2x-y = 1

<=> x+y=1

       3x=1

<=> x=1/3

       y=2/3

Vậy .............

Tk mk nha

Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\frac{m}{3}<>-\frac{1}{m}\)

=>\(m^2<>-3\) (luôn đúng)

\(\begin{cases}mx-y=2\\ 3x+my=1-2m\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=mx-2\\ 3x+m\left(mx-2\right)=1-2m\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}y=mx-2\\ 3x+m^2x-2m=1-2m\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=mx-2\\ x\left(m^2+3\right)=1\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x=\frac{1}{m^2+3}\\ y=mx-2=\frac{m}{m^2+3}-2=\frac{m-2m^2-6}{m^2+3}=\frac{-2m^2+m-6}{m^2+3}\end{cases}\)

x-3y=6

=>\(\frac{1}{m^2+3}-3\cdot\frac{-2m^2+m-6}{m^2+3}=6\)

=>\(\frac{1+6m^2-3m+18}{m^2+3}=6\)

=>\(6m^2-3m+19=6\left(m^2+3\right)=6m^2+18\)

=>-3m=-1

=>\(m=\frac13\) (nhận)

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow\frac{m}{1}\ne\frac{1}{2}\Rightarrow2m\ne1\Rightarrow m\ne\frac{1}{2}\)

* Giải hệ theo m :

\(\hept{\begin{cases}mx+y=4\\x+2y=5\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2mx+2y=8\\x+2y=5\end{cases}}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2mx+x=3\\x+2y=5\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\left(2m+1\right)=3\\x+2y=5\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{3}{2m+1}\\x+2y=5\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{3}{2m+1}\\\frac{3}{2m+1}+2y=5\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{3}{2m+1}\\2y=5-\frac{3}{2m+1}\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{3}{2m+1}\\2y=\frac{10m-2}{2m+1}\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{3}{2m+1}\\y=\frac{5m-1}{2m+1}\end{cases}}\)

Vì \(x>0\Rightarrow\frac{3}{2m+1}>0\Rightarrow2m+1>0\Leftrightarrow m>-\frac{1}{2}\left(1\right)\)

Vì \(y>0\Rightarrow\frac{5m-1}{2m+1}>0\)mà \(2m+1>0\Rightarrow5m-1>0\Rightarrow m>\frac{1}{5}\left(2\right)\)

Để \(y>x\Rightarrow\frac{5m-1}{2m+1}>\frac{3}{2m+1}\)\(\Rightarrow\frac{5m-1}{2m+1}-\frac{3}{2m+1}>0\)

\(\Rightarrow\frac{5m-1-3}{2m+1}>0\Rightarrow\frac{5m-4}{2m+1}>0\)

Mà \(2m+1>0\Rightarrow5m-4>0\Rightarrow m>\frac{4}{5}\)

Từ ( 1 ) , ( 2 ) và ( 3 ) \(\Rightarrow\)Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn y > x > 0 thì \(m>\frac{4}{5}\)

Giải xong muốn gãy tay :v

Theo đề ta có hệ : 

\(\hept{\begin{cases}2x-y=3\\x+y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{4}{3}\\y=-\frac{1}{3}\end{cases}}\)

=> \(\left(2m-1\right)\frac{4}{3}-\frac{1}{3}=-0,5\)

<=> m = 7/16