Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
bài này xài karamata là đẹp nhất nè nhanh gọn lẹ mà ko bt bn học chưa
Ahaha :D giỡn xíu lớp 8 có khi AM-HM còn chưa học :3, bài này với bn phải xài khai triển Abel 
\(Q=\frac{1}{c+1}+\frac{ab+abc-c-1}{\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )}=\frac{1}{c+1}+\frac{ab-1}{\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )}\)
\(=\frac{1}{c+1}+\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}-1=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}-\frac{c}{c+1}\)
Dự đoán dấu "=" rơi khi \(a=b-1=c-2=1\) nên c/m
\(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}-\frac{c}{c+1}\geq \frac{5}{12}\)
\(\Leftrightarrow \left ( \frac{a}{a+1}-\frac{1}{2} \right )+\left ( \frac{b}{b+1}-\frac{2}{3} \right )+\left ( \frac{3}{4}-\frac{c}{c+1} \right )\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{a-1}{2a+2}+\frac{b-2}{3b+3}+\frac{3-c}{4c+4}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \left ( 3-c \right )\left ( \frac{1}{4c+4}-\frac{1}{3b+3} \right )+\left ( 3-c+b-2 \right )\left ( \frac{1}{3b+3}-\frac{1}{2a+2} \right )+\left ( 3-c+b-2+a-1 \right )\frac{1}{2a+2}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{\left ( c-3 \right )\left ( 4c-3b+1 \right )}{12\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )}+\frac{\left ( b+1-c \right )\left ( 2a-3b-1 \right )}{6\left ( b+1 \right )\left ( a+1 \right )}+\frac{a+b-c}{2a+2}\geq 0\)
Hơi xấu nhỉ nhưng xong rồi đó :)
Ta có :
a. ( a+b+c) = - 12 (1)
b.(a+b+c) = 18 (2)
c.(a+b+c) =30 (3)
=> (1) + (2) + (3) = a.(a+b+c) + b(a+b+c) + c(a+b+c)= -12+18+30
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a+b+c\right)=36\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=6^2=\left(-6\right)^2\)
\(\Rightarrow a+b+c\in\left\{6;-6\right\}\)
Với \(a+b+c=6\)
Từ (1) => a = -12 : 6 = - 2
Từ (2) => b = 18 : 6 = 3
Từ (3) => c = 30 : 6 = 5
Với a + b + c = -6
Từ (1) => a = -12 : ( -6 ) = 2
Từ (2) => b = 18 : (-6) = -3
Từ (3) => c = 30: ( -6) = -5
\(Q=a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-b\right)+c^2\left(1-c\right)\)
\(\le b^2\left(c-b\right)+c^2\left(1-c\right)\)
\(=4.\frac{b}{2}.\frac{b}{2}.\left(c-b\right)+c^2\left(1-c\right)\)
\(\le\frac{4.\left(\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+c-b\right)^3}{27}+c^2\left(1-c\right)\)
\(\le\frac{4.c^3}{27}+c^2\left(1-c\right)\)
\(=c^2\left(1-\frac{23c}{27}\right)\)
\(=\frac{23c}{54}.\frac{23c}{54}.\left(1-\frac{23c}{27}\right).\frac{2916}{529}\)
\(\le\frac{2916}{529}.\frac{\left(\frac{23c}{54}+\frac{23c}{54}+1-\frac{23c}{27}\right)^3}{27}=\frac{108}{529}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=0;b=\frac{12}{23};c=\frac{18}{23}\)
CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý A ≥ B ⇔ A − B ≥ 0 1/Định nghĩa A ≤ B ⇔ A − B ≤ 0 2/Tính chất + A>B ⇔ B < A + A>B và B >C ⇔ A > C + A>B ⇒ A+C >B + C + A>B và C > D ⇒ A+C > B + D + A>B và C > 0 ⇒ A.C > B.C + A>B và C < 0 ⇒ A.C < B.C + 0 < A < B và 0 < C <D ⇒ 0 < A.C < B.D + A > B > 0 ⇒ A n > B n ∀n + A > B ⇒ A n > B n với n lẻ + A > B ⇒ A n > B n với n chẵn + m > n > 0 và A > 1 ⇒ A m > A n + m > n > 0 và 0 <A < 1 ⇒ A m < A n 1 1 +A < B và A.B > 0 ⇒ > A B 3/Một số hằng bất đẳng thức + A 2 ≥ 0 với ∀ A ( dấu = xảy ra khi A = 0 ) + An ≥ 0 với ∀ A ( dấu = xảy ra khi A = 0 ) + A ≥ 0 với ∀A (dấu = xảy ra khi A = 0 ) + -A <A= A + A + B ≥ A + B ( dấu = xảy ra khi A.B > 0) + A − B ≤ A − B ( dấu = xảy ra khi A.B < 0)Sưu tầm và tuyển chọn 1
\(\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\le2\left(a^4+b^4\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+a^3b+ab^3\le2\left(a^4+b^4\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4-a^3b-ab^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left[\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}\right]\ge0\) * đúng *
b
Hiển hiên
\(\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\le2\left(a^4+b^4\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4-a^3b-ab^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(B=\frac{1}{(a+2b)(a+2c)}+\frac{1}{(b+2a)(b+2c)}+\frac{1}{(c+2a)(c+2b)}\)
\(\geq \frac{9}{(a+2b)(a+2c)+(b+2a)(b+2c)+(c+2a)(c+2b)}\)
\(\Leftrightarrow B\geq \frac{9}{(a^2+2ac+2ab+4bc)+(b^2+2bc+2ab+4ac)+(c^2+2bc+2ac+4ab)}\)
\(\Leftrightarrow B\geq \frac{9}{a^2+b^2+c^2+8(ab+bc+ac)}=\frac{9}{(a+b+c)^2+6(ab+bc+ac)}(*)\)
Theo hệ quả quen thuộc của BĐT Cô-si:
\(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow (a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\)
\(\Rightarrow 2(a+b+c)^2\geq 6(ab+bc+ac)(**)\)
Từ \((*); (**)\Rightarrow B\geq \frac{9}{(a+b+c)^2+2(a+b+c)^2}=\frac{3}{(a+b+c)^2}\geq \frac{3}{3^2}=\frac{1}{3}\)
(do \(a+b+c\leq 3)\)
Do đó: \(B_{\min}=\frac{1}{3}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Đặt \(\left(\frac{a-b}{c},\frac{b-c}{a},\frac{c-a}{b}\right)\rightarrow\left(x,y,z\right)\)
Khi đó:\(\left(\frac{c}{a-b},\frac{a}{b-c},\frac{b}{c-a}\right)\rightarrow\left(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}\right)\)
Ta có:
\(P\cdot Q=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=3+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}\)
Mặt khác:\(\frac{y+z}{x}=\left(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)\cdot\frac{c}{a-b}=\frac{b^2-bc+ac-a^2}{ab}\cdot\frac{c}{a-b}\)
\(=\frac{c\left(a-b\right)\left(c-a-b\right)}{ab\left(a-b\right)}=\frac{c\left(c-a-b\right)}{ab}=\frac{2c^2}{ab}\left(1\right)\)
Tương tự:\(\frac{x+z}{y}=\frac{2a^2}{bc}\left(2\right)\)
\(=\frac{x+y}{z}=\frac{2b^2}{ac}\left(3\right)\)
Từ ( 1 );( 2 );( 3 ) ta có:
\(P\cdot Q=3+\frac{2c^2}{ab}+\frac{2a^2}{bc}+\frac{2b^2}{ac}=3+\frac{2}{abc}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
Ta có:\(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3=-c^3\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=-c^3\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
Khi đó:\(P\cdot Q=3+\frac{2}{abc}\cdot3abc=9\)