Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left(1+x\right)^n=\sum\limits^n_{k=0}C_n^kx^k\)
Hệ số của 2 số hạng liên tiếp là \(C_n^k\) và \(C_n^{k+1}\)
\(\Rightarrow7C_n^k=5C_n^{k+1}\Leftrightarrow\frac{7n!}{k!.\left(n-k\right)!}=\frac{5n!}{\left(k+1\right)!\left(n-k-1\right)!}\)
\(\Leftrightarrow\frac{7}{n-k}=\frac{5}{k+1}\Leftrightarrow7k+7=5n-5k\)
\(\Leftrightarrow5n=12k+7\Rightarrow n=\frac{12k+7}{5}\)
\(\Rightarrow n_{min}=11\) khi \(k=4\)
2/ \(\left(x-2\right)^{100}=\sum\limits^{100}_{k=0}C_{100}^kx^k.\left(-2\right)^{100-k}\)
\(a_{97}\) là hệ số của \(x^{97}\Rightarrow k=97\)
Hệ số là \(C_{100}^{97}.\left(-2\right)^3\)
Xét khai triển:
\(\left(x+1\right)^n=C_n^0+C_n^1x+C_n^2x^n+C_n^3x^3+...+C_n^nx^n\)
Đạo hàm 2 vế:
\(n\left(x+1\right)^{n-1}=C_n^1+2C_n^2x+3C_n^3x^2+...+nC_n^nx^{n-1}\)
Thay \(x=1\) vào ta được:
\(n.2^{n-1}=C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+...+nC_n^2=256n\)
\(\Rightarrow2^{n-1}=256=2^8\Rightarrow n=9\)
Câu 2:
\(\left(x-2\right)^{80}=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...+a_{80}x^{80}\)
Đạo hàm 2 vế:
\(80\left(x-2\right)^{79}=a_1+2a_2x+3a_3x^2+...+80a_{80}x^{79}\)
Thay \(x=1\) ta được:
\(80\left(1-2\right)^{79}=a_1+2a_2+3a_3+...+80a_{80}\)
\(\Rightarrow S=80.\left(-1\right)^{79}=-80\)
ĐKXĐ: n>=3
Ta có: \(4\cdot C_{n+1}^3+2\cdot C_{n}^2=A_{n}^3\)
=>\(4\cdot\frac{\left(n+1\right)!}{\left(n+1-3\right)!\cdot3!}+2\cdot\frac{n!}{\left(n-2\right)!\cdot2!}=\frac{n!}{\left(n-3\right)!}\)
=>\(4\cdot\frac{\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)}{6}+2\cdot\frac{n\left(n-1\right)}{2}=n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\)
=>\(\frac23n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+n\left(n-1\right)-n\left(n-1\right)\left(n-2\right)=0\)
=>\(n\left(n-1\right)\left\lbrack\frac23\left(n+1\right)+1-\left(n-2\right)\right\rbrack=0\)
=>\(\frac23\left(n+1\right)+1-n+2=0\)
=>\(\frac23n+\frac23-n+3=0\)
=>\(\frac{11}{3}-\frac13n=0\)
=>n=11
=>Khai triển ban đầu sẽ là \(\left(x^2-\frac{2}{x}\right)^{11}\)
Số hạng tổng quát là:
\(C_{11}^{k}\cdot\left(x^2\right)^{11-k}\cdot\left(-\frac{2}{x}\right)^{k}=C_{11}^{k}\cdot x^{22-2k}\cdot\frac{\left(-2\right)^{k}}{x^{k}}=C_{11}^{k}\cdot\left(-2\right)^{k}\cdot x^{22-3k}\)
Số hạng chứa x^7 sẽ tương ứng với 22-3k=7
=>3k=15
=>k=5
=>Hệ số là \(C_{11}^5\cdot\left(-2\right)^5=-32\cdot\frac{11!}{6!\cdot5!}=-32\cdot462=-14784\)