A = (x+5)²⁰²² + | y - 2021| + 2022

vì ( x+5)²⁰²² \(\ge\) 0; 

    |y-2021|   \(\ge\) 0

    2022      = 2022

Cộng vế với vế ta được : A = (x+5)²⁰²²+|y-2021|+2022\(\ge\) 2022

Vậy A(min) = 2022 dấu bằng xảy ra khi : \(\left\{{}\begin{matrix}x+5=0\\y-2021=0\end{matrix}\right.\)=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=-5\\y=2021\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2019\left|x-1\right|+2020\left|y-2\right|+2021\left|y-3\right|+2022\left|y-4\right|=2020+2022\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left|y-2\right|=1\\\left|x-1\right|=0\\\left|y-4\right|=1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}}}\)

TH1: x<2020

=>x-2020<0; x-2021<0; x-2022<0

=>M=-x+2020-x+2021-x+2022=-3x+6063

Vì hàm số M=-3x+6063 là hàm số nghịch biến trên R

nên M nhỏ nhất khi x lớn nhất

Khi x<2020 thì x không có giá trị lớn nhất

=>M không có giá trị nhỏ nhất

TH2: 2020<=x<2021

=>x-2020>=0; x-2021<0; x-2022<0

=>M=x-2020+2021-x+2022-x=-x+2023

Vì hàm số M=-x+2023 là hàm số nghịch biến trên R

nên M nhỏ nhất khi x lớn nhất

Khi 2020<=x<2021 thì x không có giá trị lớn nhất

=>M không có giá trị nhỏ nhất

TH3: 2021<=x<2022

=>x-2020>0; x-2021>=0; x-2022<0

=>M=x-2020+x-2021+2022-x=x-2019

Vì hàm số M=x-2019 là hàm số đồng biến trên R

nên M nhỏ nhất khi x nhỏ nhất

Khi 2021<=x<2022 thì \(x_{\min}=2021\)

=>\(M_{\min}=2021-2019=2\) (1)

TH4: x>=2022

=>x-2020>0; x-2021>0; x-2022>=0

=>M=x-2020+x-2021+x-2022=3x-6063

Vì hàm số M=3x-6063 là hàm số đồng biến trên R

nên M nhỏ nhất khi x nhỏ nhất

Khi x>=2022 thì \(x_{\min}=2022\)

=>\(M_{\min}=3\cdot2022-6063=6066-6063=3\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(M_{\min}=2\) khi x=2021

\(M=2021+\left(x-2022\right)^{2022}\ge2021\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x=2022

bạn có thể lý giải chi tiết từng bước đc ko?

Đây nhé bé

Câu1

Vì \(\mid x \mid \geq 0 \Rightarrow \mid x \mid + 1 \geq 1\).
Do đó \(\left(\right. \mid x \mid + 1 \left.\right)^{10} \geq 1^{10} = 1\).

Suy ra:

\(A = \left(\right. \mid x \mid + 1 \left.\right)^{10} + 2023 \geq 1 + 2023 = 2024.\)

Dấu “=” chỉ xảy ra khi \(\mid x \mid = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

\(\Rightarrow\) Giá trị nhỏ nhất của \(A\) là \(\boxed{2024}\), đạt tại \(x = 0\).

Câu 2 ( câu này kiến thức nâng cao nhé em nên là khi em đọc lời giải sẽ có khó hiểu nhé )

Đặt \(n = 2022\). Khi đó:

\(A = \frac{n^{2022} + 1}{n^{2023} + 1} , B = \frac{n^{2021} + 1}{n^{2022} + 1} .\)

Xét tổng quát với \(a_{k} = \frac{n^{k} + 1}{n^{k + 1} + 1} , \left(\right. n > 1 \left.\right)\).

Ta gọi k là luỹ thừa của cơ số

\(a_{k} > a_{k - 1} \textrm{ }\textrm{ } \Longleftrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. n^{k} + 1 \left.\right)^{2} > \left(\right. n^{k + 1} + 1 \left.\right) \left(\right. n^{k - 1} + 1 \left.\right) .\)

Xét hiệu:

\(\left(\right.n^{k}+1\left.\right)^2-\left(\right.n^{k+1}+1\left.\right)\left(\right.n^{k-1}+1\left.\right)=-n^{k-1}\left(\right.n-1\left.\right)^2<0\)

Vậy \(a_{k} < a_{k - 1}\), tức dãy \(\left(\right. a_{k} \left.\right)\) giảm dần theo \(k\)

Do đó:

\(A = a_{2022} < a_{2021} = B .\)

\(\Rightarrow B>A\)

Câu3

Ta đổi : \(27 = 3^{3}\), \(9 = 3^{2}\), \(125 = 5^{3}\).

\(\frac{5^{16} \cdot \left(\right. 3^{3} \left.\right)^{7}}{\left(\right. 5^{3} \left.\right)^{5} \cdot \left(\right. 3^{2} \left.\right)^{11}} = \frac{5^{16} \cdot 3^{21}}{5^{15} \cdot 3^{22}} = 5^{16 - 15} \cdot 3^{21 - 22} = \frac{5}{3} .\)

Vậy kết quả bằng \(\frac{5}{3}\).

Câu 3:

\(\frac{5^{16}\cdot27^7}{125^5\cdot9^{11}}\)

\(=\frac{5^{16}\cdot\left(3^3\right)^7}{\left(5^3\right)^5\cdot\left(3^2\right)^{11}}=\frac{5^{16}\cdot3^{21}}{5^{15}\cdot3^{22}}\)

\(=\frac53\)

Câu 2:

\(2022A=\frac{2022^{2023}+2022}{2022^{2023}+1}=1+\frac{2021}{2022^{2023}+1}\)

\(2022B=\frac{2022^{2022}+2022}{2022^{2022}+1}=1+\frac{2021}{2022^{2022}+1}\)

Ta có: \(2022^{2023}+1>2022^{2022}+1\)

=>\(\frac{2021}{2022^{2023}+1}<\frac{2021}{2022^{2022}+1}\)

=>\(\frac{2021}{2022^{2023}+1}+1<\frac{2021}{2022^{2022}+1}+1\)

=>2022A<2022B

=>A<B

Câu 1:

\(\left|x\right|\ge0\forall x\)

=>\(\left|x\right|+1\ge1\forall x\)

=>\(\left(\left|x\right|+1\right)^{10}\ge1^{10}=1\forall x\)

=>\(\left(\left|x\right|+1\right)^{10}+2023\ge1+2023=2024\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x=0

Sửa: \(Đk:x\ge0\)

\(C=1-\dfrac{1}{\sqrt{x}+2022}\ge1-\dfrac{1}{0+2022}=\dfrac{2021}{2022}\\ C_{min}=\dfrac{2021}{2022}\Leftrightarrow x=0\)

\(C=\dfrac{\sqrt{x}+2022}{\sqrt{x}+2022}-\dfrac{1}{\sqrt{x}+2022}=1-\dfrac{1}{\sqrt{x}+2022}\)

Do \(\sqrt{x}+2022\ge2022\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{x}+2022}\le\dfrac{1}{2022}\Leftrightarrow-\dfrac{1}{\sqrt{x}+2022}\ge-\dfrac{1}{2022}\)

\(\Leftrightarrow C=1-\dfrac{1}{\sqrt{x}+2022}\ge1-\dfrac{1}{2022}=\dfrac{2011}{2022}\)

Dấu"=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=0\)

\(a,\left\{{}\begin{matrix}\left|x-3y\right|\ge0\\\left|y+4\right|\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow VT\ge0\)

Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-3y=0\\y+4=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3y=-12\\y=-4\end{matrix}\right.\)

\(b,Sửa:\left|x-y-5\right|+\left(y+3\right)^2=0\\ \left\{{}\begin{matrix}\left|x-y-5\right|\ge0\\\left(y+3\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow VT\ge0\)

Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y-5=0\\y+3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y+5=2\\y=-3\end{matrix}\right.\)

\(c,\left\{{}\begin{matrix}\left|x+y-1\right|\ge0\\\left(y-2\right)^4\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow VT\ge0\)

Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y-1=0\\y-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1-y=-1\\y=2\end{matrix}\right.\)

\(d,\left\{{}\begin{matrix}\left|x+3y-1\right|\ge0\\3\left|y+2\right|\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow VT\ge0\)

Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+3y-1=0\\y+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1-3y=7\\y=-2\end{matrix}\right.\)

\(e,Sửa:\left|2021-x\right|+\left|2y-2022\right|=0\\ \left\{{}\begin{matrix}\left|2021-x\right|\ge0\\\left|2y-2022\right|\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow VT\ge0\)

Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2021-x=0\\2y-2022=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2021\\y=1011\end{matrix}\right.\)