a) Để hàm xác định thì \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\\sqrt{x}-1\ne0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne1\end{cases}}\)

b) Ta có: \(f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)

\(\Rightarrow f\left(4-2\sqrt{3}\right)=\frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}+1}{\sqrt{4-2\sqrt{3}}-1}=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}+1}{\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}-1}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-2}\)

và \(f\left(a^2\right)=\frac{\sqrt{a^2}+1}{\sqrt{a^2}-1}=\frac{\left|a\right|+1}{\left|a\right|-1}\)(với \(a\ne\pm1\))

* Nếu \(a\ge0;a\ne1\)thì \(f\left(a^2\right)=\frac{a+1}{a-1}\)

* Nếu \(a< 0;a\ne-1\)thì \(f\left(a^2\right)=\frac{a-1}{a+1}\)

c) \(f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\frac{\sqrt{x}-1+2}{\sqrt{x}-1}=1+\frac{2}{\sqrt{x}-1}\)

Để f(x) nguyên thì \(\frac{2}{\sqrt{x}-1}\)nguyên hay \(2⋮\sqrt{x}-1\Rightarrow\sqrt{x}-1\inƯ\left(2\right)=\left\{\pm1;\pm2\right\}\)

Mà \(\sqrt{x}-1\ge-1\)nên ta xét ba trường hợp:

+) \(\sqrt{x}-1=-1\Rightarrow x=0\left(tmđk\right)\)

+) \(\sqrt{x}-1=1\Rightarrow x=4\left(tmđk\right)\)

+) \(\sqrt{x}-1=2\Rightarrow x=9\left(tmđk\right)\)

Vậy \(x\in\left\{0;4;9\right\}\)thì f(x) có giá trị nguyên 

d) \(f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\); \(f\left(2x\right)=\frac{\sqrt{2x}+1}{\sqrt{2x}-1}\)

f(x) = f(2x) khi \(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\frac{\sqrt{2x}+1}{\sqrt{2x}-1}\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{2x}-1\right)=\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{2x}+1\right)\)\(\Leftrightarrow\sqrt{2}x+\sqrt{2x}-\sqrt{x}-1=\sqrt{2}x-\sqrt{2x}+\sqrt{x}-1\)\(\Leftrightarrow\sqrt{2x}-\sqrt{x}=-\sqrt{2x}+\sqrt{x}\Leftrightarrow2\sqrt{2x}=2\sqrt{x}\Leftrightarrow\sqrt{2x}=\sqrt{x}\Leftrightarrow x=0\)(tmđk)

Vậy x = 0 thì f(x) = f(2x)

Answer:

a. ĐK để biểu thức có nghĩa

\(\hept{\begin{cases}2-x\ge0\\x+2\ge0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le2\\x\ge-2\end{cases}}\Leftrightarrow-2\le x\le2\left(or\left|x\right|\le2\right)}\)

b. \(f\left(a\right)=\sqrt{2-a}+\sqrt{a+2};f\left(-a\right)=\sqrt{2-\left(-a\right)}+\sqrt{-a+2}=\sqrt{2-a}+\sqrt{a+2}\)

\(\Rightarrow f\left(a\right)=f\left(-a\right)\)

c. \(y^2=\left(\sqrt{2-x}\right)^2+2\sqrt{2-x}.\sqrt{2+x}+\left(\sqrt{2+x}\right)^2=2-x+2\sqrt{4-x^2}+2+x=4+2\sqrt{4-x^2}\ge4\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=\pm2\)

Giá trị nhỏ nhất của y là 2

\(P=\sqrt{x}+\sqrt{9-x}+\sqrt{x\left(9-x\right)}\ge\sqrt{x}+\sqrt{9-x}\)

\(\Rightarrow P^2\ge\left(\sqrt{x}+\sqrt{9-x}\right)^2=9+2\sqrt{x\left(9-x\right)}\ge9\)

\(\Rightarrow P\ge3\)

\(P_{\min}=3\) khi x=0 hoặc x=9

\(P=\sqrt{x}+\sqrt{9-x}+\sqrt{x\left(9-x\right)}\le\sqrt{2\left(x+9-x\right)}+\frac12\left(x+9-x\right)=\frac92+3\sqrt2\)

\(P_{max}=\frac92+3\sqrt2\) khi \(x=9-x\Rightarrow x=\frac92\)

Bước 1: Viết lại biểu thức cho dễ nhìn

\(P = \frac{x}{9 - x} + x \left(\right. 9 - x \left.\right)\)

Bước 2: Tìm đạo hàm của \(P\)

\(P = \frac{x}{9 - x} + x \left(\right. 9 - x \left.\right)\)

Đạo hàm từng phần:

• Đạo hàm của \(\frac{x}{9 - x}\):

\(u = x , v = 9 - x \Rightarrow u^{'} = 1 , v^{'} = - 1\)\(\left(\left(\right. \frac{u}{v} \left.\right)\right)^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}} = \frac{1 \cdot \left(\right. 9 - x \left.\right) - x \cdot \left(\right. - 1 \left.\right)}{\left(\right. 9 - x \left.\right)^{2}} = \frac{9 - x + x}{\left(\right. 9 - x \left.\right)^{2}} = \frac{9}{\left(\right. 9 - x \left.\right)^{2}}\)

• Đạo hàm của \(x \left(\right. 9 - x \left.\right) = 9 x - x^{2}\) là:

\(9 - 2 x\)

Vậy đạo hàm của \(P\) là:

\(P^{'} = \frac{9}{\left(\right. 9 - x \left.\right)^{2}} + 9 - 2 x\)

Bước 3: Tìm nghiệm của \(P^{'} = 0\)

\(\frac{9}{\left(\right. 9 - x \left.\right)^{2}} + 9 - 2 x = 0\)

Chuyển vế:

\(\frac{9}{\left(\right. 9 - x \left.\right)^{2}} = 2 x - 9\)

Lưu ý: Để vế phải \(2 x - 9\) dương (vì vế trái luôn dương), ta có:

\(2 x - 9 > 0 \Rightarrow x > \frac{9}{2} = 4.5\)

Nhân hai vế với \(\left(\right. 9 - x \left.\right)^{2}\):

\(9 = \left(\right. 2 x - 9 \left.\right) \left(\right. 9 - x \left.\right)^{2}\)

Đặt \(t = 9 - x\), khi \(x > 4.5 \Rightarrow t = 9 - x < 4.5\).

Thay \(x = 9 - t\):

\(9 = \left(\right. 2 \left(\right. 9 - t \left.\right) - 9 \left.\right) \cdot t^{2} = \left(\right. 18 - 2 t - 9 \left.\right) t^{2} = \left(\right. 9 - 2 t \left.\right) t^{2}\)

Ta có:

\(9 = \left(\right. 9 - 2 t \left.\right) t^{2} = 9 t^{2} - 2 t^{3}\)

Chuyển hết về một phía:

\(9 t^{2} - 2 t^{3} - 9 = 0\)

Hay:

\(- 2 t^{3} + 9 t^{2} - 9 = 0\)

Nhân cả phương trình với -1 để thuận tiện:

\(2 t^{3} - 9 t^{2} + 9 = 0\)

Bước 4: Giải phương trình \(2 t^{3} - 9 t^{2} + 9 = 0\)

Thử các nghiệm nguyên hoặc hữu tỉ:

• \(t = 1\):

\(2 \left(\right. 1 \left.\right)^{3} - 9 \left(\right. 1 \left.\right)^{2} + 9 = 2 - 9 + 9 = 2 \neq 0\)

• \(t = 3\):

\(2 \left(\right. 27 \left.\right) - 9 \left(\right. 9 \left.\right) + 9 = 54 - 81 + 9 = - 18 \neq 0\)

• \(t = 4.5\):

\(2 \left(\right. 4.5 \left.\right)^{3} - 9 \left(\right. 4.5 \left.\right)^{2} + 9 = 2 \cdot 91.125 - 9 \cdot 20.25 + 9 = 182.25 - 182.25 + 9 = 9 \neq 0\)

• \(t = 2\):

\(2 \left(\right. 8 \left.\right) - 9 \left(\right. 4 \left.\right) + 9 = 16 - 36 + 9 = - 11 \neq 0\)

Không tìm được nghiệm nguyên, dùng phương pháp đồ thị hoặc nghiệm gần đúng.

Bước 5: Tính giá trị gần đúng nghiệm \(t\)

Ta có hàm:

\(f \left(\right. t \left.\right) = 2 t^{3} - 9 t^{2} + 9\)

• \(f \left(\right. 2 \left.\right) = - 11\) (âm)
• \(f \left(\right. 3 \left.\right) = 2 \cdot 27 - 9 \cdot 9 + 9 = 54 - 81 + 9 = - 18\) (âm, chỉnh lại ở trên bị sai, đúng là -18)
• \(f \left(\right. 4 \left.\right) = 2 \cdot 64 - 9 \cdot 16 + 9 = 128 - 144 + 9 = - 7\) (âm)
• \(f \left(\right. 5 \left.\right) = 2 \cdot 125 - 9 \cdot 25 + 9 = 250 - 225 + 9 = 34\) (dương)

Vậy nghiệm nằm trong khoảng \(\left(\right. 4 , 5 \left.\right)\).

Tiếp tục thử \(t = 4.5\):

\(f \left(\right. 4.5 \left.\right) = 2 \cdot 91.125 - 9 \cdot 20.25 + 9 = 182.25 - 182.25 + 9 = 9 > 0\)

Có vẻ trước đó tính sai, ta kiểm tra lại:

\(t = 4.25 \Rightarrow f \left(\right. 4.25 \left.\right) = 2 \cdot \left(\right. 4.25 \left.\right)^{3} - 9 \cdot \left(\right. 4.25 \left.\right)^{2} + 9\)\(\left(\right. 4.25 \left.\right)^{3} = 76.765625 , \left(\right. 4.25 \left.\right)^{2} = 18.0625\)\(f \left(\right. 4.25 \left.\right) = 2 \cdot 76.765625 - 9 \cdot 18.0625 + 9 = 153.53125 - + 9 = - 0.03125\)

Gần bằng 0, nghiệm ở gần \(4.25\).

Bước 6: Tính nghiệm x

\(t \approx 4.25 \Rightarrow x = 9 - t = 9 - 4.25 = 4.75\)

Bước 7: Tính giá trị \(P\) tại \(x = 4.75\)

\(P = \frac{4.75}{9 - 4.75} + 4.75 \left(\right. 9 - 4.75 \left.\right) = \frac{4.75}{4.25} + 4.75 \times 4.25\)\(\frac{4.75}{4.25} \approx 1.1176 , 4.75 \times 4.25 = 20.1875\)\(P \approx 1.1176 + 20.1875 = 21.3051\)

Bước 8: Xét giới hạn tại biên \(x \rightarrow 0^{+}\) và \(x \rightarrow 9^{-}\)

• Khi \(x \rightarrow 0^{+}\):

\(P \rightarrow \frac{0}{9} + 0 \times 9 = 0\)

• Khi \(x \rightarrow 9^{-}\):

\(\frac{x}{9 - x} \rightarrow + \infty , x \left(\right. 9 - x \left.\right) \rightarrow 0\)

Nên \(P \rightarrow + \infty\).

Kết luận:

• \(P\) có một điểm cực trị tại \(x \approx 4.75\) với giá trị \(P \approx 21.3\).
• \(P \rightarrow + \infty\) khi \(x \rightarrow 9^{-}\).
• \(P \rightarrow 0\) khi \(x \rightarrow 0^{+}\).

Vì \(P \rightarrow + \infty\) gần biên \(x \rightarrow 9^{-}\), nên không có GTLN hữu hạn trên khoảng \(\left(\right. 0 , 9 \left.\right)\).

Còn GTNN là khoảng \(x \rightarrow 0\) hoặc tại cực trị \(x = 4.75\).

\(S=\sqrt{x-1}+\sqrt{9-x}\)

DK:\(1\le x\le9\)

\(S^2=\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{9-x}\right)^2\)

\(S^2=\left(x-1\right)+\left(9-x\right)+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(9-x\right)}\)

\(=8+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(9-x\right)}\)

\(\le8+\left(x-1\right)+\left(9-x\right)\)(BDT AM-GM)

\(=8+8=16\Rightarrow S^2\le16\Rightarrow S\le4\)