Ta có \(x\left(1000x-1\right)=y\left(1001y-1\right)\left(1\right)\)

Giả sử d là ước chung lớn nhất của x và 1000x-1

=> \(\hept{\begin{cases}x⋮d\\1000x-1⋮d\end{cases}}\)=> \(1⋮d\)=> d=1

=> x và 1000x-1 là 2 số nguyên tố cùng nhau(*)

TT => y và 1001y-1 là 2 số nguyên tố cùng nhau (**)

Theo đề bài

\(\left(x-y\right)\left(1000\left(x+y\right)-1\right)=y^2\left(2\right)\)

+  x=0 => y=0

+  \(x,y\ne0\)

Từ (2) 

=> x>y(3)

Từ (1), (3) => x<1001y-1

Kết hợp với (*), (**) ta được \(x⋮y\)

Đặt \(x=ky\)( k là số nguyên dương)

=> \(1000k^2y^2+y=1001y^2+ky\)

=> \(1000k^2y+1=1001y+k\)

=> \(y=\frac{k-1}{1000k^2-1001}\)

Mà \(1000k^2-1000⋮k-1\)

=> không có giá trị nào của k để y nguyên 

Vậy x=y=0

+)x=0=>y=0 

+)y=0=>x=0 

\(1000x^2+y=1001y^2+x\Leftrightarrow1001x^2+y=1001y^2+x^2+x\Leftrightarrow\left(1001x+1001y-1\right)\left(x+y\right)=x^2\left(1\right)\) 

\(1000x^2+y=1001y^2+x\Leftrightarrow\left(1000x+1000y-1\right)\left(x-y\right)=y^2\left(2\right)\) 

\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\left(x-y\right)^2\left(1000x+1000y-1\right)\left(1001x+1001y-1\right)=x^2y^2\) 

Dat x+y=a (a thuoc N) 

\(\Rightarrow\left(1000a-1\right)\left(1001a-1\right)\text{la so chinh phuong}\) 

goi d=(1000a-1,1001a-1) 

=>\(a⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

=>1000a-1;1001a-1 deu la so chinh phuong 

1000a-1 chia 8 du 7=> khong la so chinh phuong (vo ly) 

Vay: x=0;y=0

Ta có : \(1000x^2+y=1001y^2+x\Leftrightarrow1000x^2-x=1001y^2-y\)

           \(\Leftrightarrow1000.x\left(x-1\right)=1001.y\left(y-1\right)\)

Do \(\hept{\begin{cases}1001.y\left(y-1\right)⋮1001\left(y\in N\right)\\ƯCLN\left(1001,1000\right)=1\end{cases}}\Rightarrow x\left(x-1\right)⋮1001\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-1\right)=1001.k\left(k\in N\right)=7.11.13.k=77.13k\)

Ta thấy : x và x - 1 là 2 số liên tiếp hơn nhau 1 đơn vị nên \(13k\)hơn hoặc kém 77 cũng 1 đơn vị :

+> \(13k>77\)một đơn vị : \(13k=78\Leftrightarrow k=6\)( hợp lý )

\(\Rightarrow x\left(x-1\right)=78.77\Leftrightarrow x=78\)

\(\Leftrightarrow1000.78.77=1001.y\left(y-1\right)\Leftrightarrow y.\left(y-1\right)=\frac{1000.78.77}{1001}=6000\)

Mà 6000 không phân tích được thành tích của 2 số tự nhiên liên tiếp 

=> Vô lý => Loại.

+> \(13k< 77\)một đơn vị \(\Rightarrow13k=76\Rightarrow k\approx5,85\notin N\)( vô lý ) => Loại

Vậy không tồn tại 2 số tự nhiên x,y thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Xin lỗi mình làm nhầm đề : 1000x² + 1000y = 1001y² + 1000x.

Xét : 1001y^2 - 1001x^2 + x - y + x^2

= 1001(x-y)(x+y) + (x-y) + x^2 

= (x-y)(1001x + 1001y + 1 ) + x^2 (1)

Lại có : 1000x^2 - x = 1001y^2 - y

=> x(1000x - 1) = y(1001y - 1)

=> x phải luôn > hoặc = y ( vì nếu x < y => 1000x - 1 < 1001y -1 mà x<y => x(1000x - 1) < y(1001y - 1 ) trái với dữ kiện đề bài .)

=> x - y > hoặc = 0 

Lại có  : x , y là các số tự nhiên => 1001x + 1001y + 1 > hoặc = 1 và > 0 

=> (x - y)(1001x + 1001y +1) > hoặc = 0 (2)

mà x^2 luôn > hoặc = 0 với mọi x (3)

Nên từ (1) ; (2) ; (3) => (x-y)(1001x + 1001y + 1 ) + x^2 > hoặc = 0 

hay 1001y^2 - 1001x^2 + x - y + x^2 > hoặc = 0 

=> 1001y^2 + x > hoặc = 1001x^2 - x^2 +y = 1000x^2 + y 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : 

x - y = 0 và x = 0

=> x = y = 0 ( thỏa mãn )

Vậy ta tìm được x=y=0 thỏa mãn yêu cầu đề bài . 

Một số chỗ làm tắt và không viết rõ thì các bạn thông cảm @@ . 

1000x²+y=1001y²+x

<=> 1000x²-x+y-1000y²=y²

<=> 1000(x-y)(x+y)-(x-y)=y²

<=> (x-y)(1000x+1000y-1)=y²

Dễ thấy VP luôn dương

=> VT luôn dương

Xét x<y  => VT âm (do x,y tự nhiên)

Xét x=y=> x=y=0 (t/m)

Xét x>y => VP \(⋮\)y²

=> \(\hept{\begin{cases}x-y\\1000x+1000b-1\end{cases}⋮y}\)

=> x\(⋮\)y

khi đó 1000x+1000y-1\(⋮̸\)y       (loại

Vậy x=y=0

bạn khoa le nho  làm nhầm rồi dòng  thứ 1->2 bạn biến đổi sai

Xin lỗi các em. Cô k sai. Bài của bạn Trần Phúc Khang chưa đúng:(

Kết hợp (**), (*) không thể suy ra đc: x chia hết cho y

em xin bo sung them 

+)a le. xet:a²-1=(a-1)(a+1) vi a le nen: 

a-1 chan va a+1 chan=> 2 so a-1 va a+1 la 2 so chan lien tiep nen co 1 so chia het cho 2 va 1 so chia het cho 4

=> (a-1)(a+1) chia het cho 8=>a² chia 8 du 1 

+)a chan=> a co 1 trong 2 dang 4k hoac 4k+2 (k thuoc N) 

+) a=4k=>a²=16k² chia het cho 8

+) a=4k+2=>a²=16k^2+8k+4 chia 8 du 4 

nen so chinh phuong chia 8 du 0 hoac 1 hoac 4

=>so chinh phuong khong chia 8 du 7