Vì p,q đều là số nguyên tố mà p-q cũng là số nguyên tố nên p và q khác tính chẵn lẻ.

Suy ra: q=2 (Vì p>q; p, q đều lad số nguyên tố)

+, Nếu p=3 : Thỏa mãn.

+, Nếu p>3 : Xét 2 TH: p=3k+1 (k thuộc N*) hoặc p=3k+2(k thuộc N*)

 -p=3k+1 => p+q=3k+1+2=3k+3  là hợp số

 -p=3k+2 : Tương tự có p-q là hợp số.

Vậy q=2, p=3.

3-2=1 => p-q đâu là số nguyên tố ?

Ta có 46y là số chẵn với mọi y.

Nếu x là SNT lớn hơn 2=> 59x lẻ=>59x+46y lẻ(ko thỏa mãn đề bài)

=>x chẵn. Mà chỉ có số 2 là SNT chẵn duy nhất =>x=2

=>y=(2004-59.2)/46=41 

bài 1: x=2 ; y=41

bài 2: 3

* Với p = 2 thì p⁴ + 2 = 2⁴ + 2 = 18 là hợp số ( loại )

* Với p = 3 thì p⁴ + 2 = 3⁴ + 2 = 83 là số nguyên tố ( thỏa mãn )

* Với p > 3: p là số nguyên tố

=> p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 (k ∈ N*).

+) p = 3k + 1: Ta có: p⁴ + 2  = ( 3k + 1 )⁴ + 2 = 3k⁴ + 4 + 2 = 3k⁴ + 6 = 3( k⁴ + 2 ) ⋮ 3 là hợp số (Loại)

+) p = 3k + 2: Ta có: p⁴ + 2 = ( 3k + 2 )⁴ + 2 =  3k⁴ + 16 + 2 =  3k⁴ + 18 = 3( k⁴ + 6 )  ⋮ 3 là hợp số (Loại).

Với p > 3 không có giá trị nào thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

KL: p = 3 là thỏa mãn yêu cầu bài toán.

+) Với P = 2 \(\Rightarrow p^4+2=2^4+2=16+2=18\)( không là SNT )

    \(\Rightarrow p=2\)( loại ) 

+) Với P= 3 \(\Rightarrow p^4+2=3^4+2=81+2=83\)( là SNT )

     \(\Rightarrow p=3\)( chọn )

+) Với p >3 \(\Rightarrow p\) có dạng  3k+1  ( k \(\in\)N^* ) 

                                               3k+2 

+) Với p= 3p+1 \(\Rightarrow p^4+2=\left(3k+1\right)^4+2\)

                                            \(=\left(9k^2+6k+1\right)^2+2\)

                                            \(=81k^4+36k^2+1+108k^3+18k^2+12k+2\)

                                             \(=3.\left(27k^4+12k^2+1+36k^3+6k^2+4k\right)⋮3\)

                          Mà \(3.\left(27k^4+12k^2+1+36k^3+6k^2+4k\right)>3\)

\(\Rightarrow3.\left(27k^4+12k^2+1+36k^3+6k^2+4k\right)\)là hợp số 

 \(\Rightarrow p=3k+1\)( loại )

+) Với \(p=3k+2\Rightarrow p^4+2=\left(3k+2\right)^4+2\)

                                                      \(=\left(9k^2+12k+4\right)^2+2\)

                                                      \(=81k^4+144k^3+16+216k^3+72k^2+96k+2\)

                                                       \(=3.\left(27k^4+48k^3+6+72k^3+32k\right)⋮3\)

                 Mà \(3.\left(27k^4+48k^3+6+72k^3+32k\right)>3\)

\(\Rightarrow3.\left(27k^4+48k^3+6+72k^3+32k\right)\)là hợp số

      \(\Rightarrow p=3k+2\)(loại )

Vậy p=3

p=3 nha

duyệt đi

Không còn số nào nữa à bạn?

Bạn có thẻ tham khảo câu hỏi tương tự

Xét số dư khi P chia cho 3 thì p + 2 và p + 4 chia cho 3 có

p chia 3 dư 1 => p + 2 chia hết cho 3

p chia 3 dư 2 => p + 4 chia hết cho 3

< = > P chia hết cho 3

< = > P = 3 

a) VD: \(a=4;b=5\) có \(a^2+b^2=4^2+5^2=16+25=41\) là số nguyên tố 

Mà \(a+b=4+5=9\) là hợp số 

\(\Rightarrow\)Mệnh đề " Nếu \(a^2+b^2\) là số nguyên tố thì \(a+b\)cũng là số nguyên tố " sai 

b) Ta có : \(a^2-b^2=\left(a^2-ab\right)+\left(ab-b^2\right)\) 

\(\Rightarrow a^2-b^2=a\left(a-b\right)+b\left(a-b\right)\)

\(\Rightarrow a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)

+) Nếu \(a-b>1\)

\(\Rightarrow a^2-b^2⋮\left(a+b\right)\) và \(a^2-b^2⋮\left(a-b\right)\)

\(\Rightarrow a^2-b^2\) là hợp số 

\(\Rightarrow\)Mâu thuẫn 

\(\Rightarrow a-b=1\)

\(\Rightarrow a^2-b^2=a+b\)

Mà \(a^2-b^2\) là số nguyên tố 

\(\Rightarrow a+b\) là số nguyên tố 

\(\Rightarrow\) Mệnh đề :  " Nếu \(a>b\) và \(a^2-b^2\)là số nguyên tố thì \(a+b\) cũng là số nguyên tố " đúng   

3 cần cách giải thì nói

Ok, ta cùng giải bài toán này nhé:

Đề: Tìm các số nguyên tố \(p , q\) sao cho cả \(p + q\) và \(p q + 11\) đều là số nguyên tố.

Bước 1. Giả sử \(p \leq q\).

• \(p + q\) phải là số nguyên tố.
  Nếu \(p , q > 2\) thì \(p + q\) chẵn (tổng của hai số lẻ), mà số nguyên tố chẵn duy nhất là \(2\).
  → Khi đó \(p + q = 2 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } p = q = 1\), không phải số nguyên tố.
  ⟹ Trường hợp này loại.

👉 Vậy phải có một trong hai số bằng 2.

Bước 2. Trường hợp \(p = 2\).

Khi đó:

\(p + q = 2 + q \text{ph}ả\text{i}\&\text{nbsp};\text{nguy} \hat{\text{e}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} .\)

Rõ ràng với mọi \(q\) nguyên tố, \(2 + q\) sẽ là số nguyên tố (trừ khi nó ra số chẵn > 2).

Xét điều kiện còn lại:

\(p q + 11 = 2 q + 11 \text{ph}ả\text{i}\&\text{nbsp};\text{nguy} \hat{\text{e}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} .\)

• Nếu \(q = 2\): \(p + q = 4\) không nguyên tố ⟹ loại.
• Nếu \(q = 3\): \(p + q = 5\) nguyên tố, và \(2 \cdot 3 + 11 = 17\) nguyên tố ⟹ (p,q)=(2,3) thỏa mãn.
• Nếu \(q = 5\): \(p + q = 7\) nguyên tố, nhưng \(2 \cdot 5 + 11 = 21\) không nguyên tố ⟹ loại.
• Nếu \(q = 7\): \(p + q = 9\) không nguyên tố ⟹ loại.
• Nếu \(q = 11\): \(p + q = 13\) nguyên tố, nhưng \(2 \cdot 11 + 11 = 33\) không nguyên tố ⟹ loại.
• Nếu \(q = 13\): \(p + q = 15\) không nguyên tố ⟹ loại.
• Nếu \(q = 17\): \(p + q = 19\) nguyên tố, nhưng \(2 \cdot 17 + 11 = 45\) không nguyên tố ⟹ loại.

Thử thêm vài giá trị lớn hơn: \(2 q + 11\) thường ra số chẵn hoặc hợp số, rất khó nguyên tố.

Bước 3. Trường hợp \(q = 2\).

Hoàn toàn tương tự (do đối xứng \(p , q\)).

• Nếu \(p = 3\): \(p + q = 5\) nguyên tố, \(3 \cdot 2 + 11 = 17\) nguyên tố ⟹ (p,q)=(3,2) cũng thỏa.

✅ Kết luận:

Các nghiệm duy nhất là:

\(\left(\right. p , q \left.\right) = \left(\right. 2 , 3 \left.\right) \text{ho}ặ\text{c} \left(\right. 3 , 2 \left.\right) .\)

Cảm ơn ạ =3

Số p có một trong ba dạng : 3k, 3k + 1, 3k + 2 với k E N*

Nếu p = 3k thì p = 3 ( vì p là số nguyên tố ), khi đó p + 2 = 5, p + 4 = 7 đều là các số nguyên tố.

Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 2 là hợp số, trái với đề bài.

Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 chia hết chp 3 và lớn hơn 3 nên p + 4 là hợp số, trái với đề bài.

Vậy p = 3 là giá trị duy nhất phải tìm.

HT

+ Nếu p = 2 => p + 2 = 4 ∉∉ P (loại)

+ Nếu p = 3 => p + 2 = 5 ∈∈ P ; p + 4 = 7 ∈∈ P

+ Nếu p > 3 mà p là số nguyên tố nên p ⋮/⋮̸ 3 => p = 3k + 1; p = 3k + 2 (p ∈∈ N)

Trường hợp: p = 3k + 1 => p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) 3

mà p > 3 nên p là hợp số

Trường hợp: p = 3k + 2 => p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) 3

mà p > 3 nên p là hợp số

=> Không có giá trị nguyên tố p lớn hơn 3 nào thoả mãn.

Vậy p = 3 là giá trị duy nhất cần tìm.