Ta có: \(2x^2+2y^2-x-y-2xy+\frac{1}{2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2-2xy\right)+\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)+\left(y^2-y+\frac{1}{4}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}^2\right)=0\)

Nhận xét \(\left(x-y\right)^2\ge0;\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0;\left(y-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\\left(x-\frac{1}{2}\right)^2=0\\\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y=0\\x-\frac{1}{2}=0\\y-\frac{1}{2}=0\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=\frac{1}{2}}\)

Nguyễn Hải An thì cả hai vế đều nguyên dương thì nhân với nhau sẽ là một số dương đó

\(x^2+2xy+2y^2=7.\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2xy+y^2\right)+y^2=7\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+y^2=7\)

Vì \(\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)^2>0\\y^2>0\end{cases}}\)nên \(y^2< 7\)

Mà y nguyên dương nên suy ra \(\orbr{\begin{cases}y^2=1\\y^2=4\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y=1\\y=2\end{cases}\Rightarrow}\orbr{\begin{cases}\left(x+y\right)^2=7-1=6\\\left(x+y\right)^2=7-4=3\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+y=\sqrt{6}\\x+y=\sqrt{3}\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{6}-1\left(khongthoaman\right)\\y=\sqrt{3}-2\left(khongthoaman\right)\end{cases}}}\)

Vậy không có cặp x, y nào thỏa mãn đề bài

Sai đề rùi bạn ơi phải là: \(x^2+2xy+y^2=7\)chứ !!!

Ta có: x^2=(y^2+2y+1)+12=(y+1)^2 +12

suy ra x^2-(y+1)^2=(x-y-1)(x+y+1)=12

Do x, y là số nguyên nên ta có bảng sau:

x-y-1           1            2              3    

x+y+1        12          6              4           (do x+y+1 lớn hơn x-y-1)

Đến đây thì bạn tự làm nhé.

Bài 2: Giả sử tồn tại x,y nguyên dương t/m đề, khi đó pt cho tương đương:

\(4x^2+4y^2-12x-12y=0\Leftrightarrow\left(2x+3\right)^2+\left(2y+3\right)^2=18\)

Ta thấy: \(18=9+9=3^2+3^2\). Mà x,y thuộc Z⁺ nên \(\hept{\begin{cases}2x+3=3\\2y+3=3\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}}\)

Vậy cặp nghiệm nguyên t/m pt là (x;y) = (0;0)

Làm lại bài 2 :v (P/S: Bạn bỏ bài kia đi nhé)

\(4x^2+4y^2-12x-12y=0\Leftrightarrow\left(2x-3\right)^2+\left(2y-3\right)^2=18\)

Ta thấy: \(18=9+9=3^2+3^2\). Mà x,y thuộc Z⁺ nên \(\hept{\begin{cases}2x-3=3\\2y-3=3\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=3\\y=3\end{cases}}\)

Vậy (x;y) = (3;3)