Lời giải

khảo sát

TXD mọi x

y' =3x^2 -6x =3x(x-2)

y' =0 => x= 0 hoặc x=2

y'' =6x-6

y''(0) =-6 <0 hàm đạt cực đại tại x=0

y''(2) =6 >0 hàm đạt cực tiểu tại x =2

y'' =0 => x=1 hàm có điểm uốn tại x=1

hàm đi từ - vc--> +vc đi góc (III) lên (IV)

Vẽ đồ thị

Các điểm quan trọng

cực đại A(0,0)

cực tiểu B(2,-4)

uốn C(1,-2)

Các điểm phụ trọng

giao với trục hoành E(0,0); \(F\left(3;0\right)\)

Giao với trục tung: \(A\left(0,0\right)\)

Đồ thị

b)

nhìn vào đồ thị số y=x^3 -3x^2

Hàm số x^3 -3x^2 -m có 3 nghiệm phân biệt

khi 0<m<-4

0>m<-4

sửa

\(-4< m< 0\)

Giải:

a) Xét \(y'=3x^2+2mx\)

Ta thấy \(y'=3x^2+2mx=0\) có \(\Delta'=m^2>0\forall m\neq 0\) nên luôn có hai nghiệm phân biệt, đồng nghĩa với hàm số đã cho luôn có cực đại, cực tiểu với mọi \(m\neq 0\)

b) Đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành tại điểm có hoành độ dương với mọi giá trị của $m$ nghĩa là phương trình \(x^3+mx^2-1=0\) luôn có nghiệm dương với mọi \(m\)

Xét hàm $y$ liên tục trên tập xác định.

Nếu \(m>0\) có \(\left\{\begin{matrix} f(0)=-1<0\\ f(m+1)=(m+1)^3+m(m+1)^2-1>0\end{matrix}\right.\Rightarrow f(0).f(m+1)<0\)

Do đó phương trình luôn có nghiệm thuộc khoảng \((0;m+1)\), tức là nghiệm dương.

Nếu \(m<0\) có \(\left\{\begin{matrix} f(0)=-1<0\\ f(1-m)=m^2-2m>0\forall m<0\end{matrix}\right.\Rightarrow f(0).f(1-m)<0\)

Do đó phương trình luôn có nghiệm thuộc khoảng \((0,1-m)\) , tức nghiệm dương

Từ hai TH ta có đpcm.

c) Để pt có $3$ nghiệm phân biệt thì \(y'=3x^2+2mx\) phải có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(f(x_1)f(x_2)<0\)

Kết hợp với định lý Viete:

\(\Leftrightarrow x_1^3+x_2^3+m(x_1^2+x_2^2)-1>0\)

\(\Leftrightarrow 4m^3-27>0\Leftrightarrow m>\frac{3}{\sqrt[3]{4}}\)

\(\sqrt{3x^2-3}=\sqrt{m-x^3}\)(1)

đk: \(\left\{{}\begin{matrix}\left|x\right|\ge1\\x\le\sqrt[3]{m}\end{matrix}\right.\)(*) \(\Rightarrow3x^2-3=m-x^3\)(2)

để (1) có hai nghiệm phân biệt => (2) phải có hai nghiệm phân biệt thủa mãn (*)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow x^3+3x^2-3-m=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3-3\left(x+1\right)-1-m=0\) đặt \(x+1=y\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y\le0\\y\ge2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow y^3-3y=m+1\)

xét VP

xét khi y<=0

\(A=y^3-3y\)

có \(2-A=2-y^3+3y=\left(2-y\right)\left(y+1\right)^2\) \(\left\{{}\begin{matrix}y\le0\\2-y\ge0\\\left(y+1\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(2-y\right)\left(y+1\right)^2\ge0\)

Vậy \(2-A\ge0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y\le0\\A\le2\end{matrix}\right.\)

xét khi y>=2

\(\left\{{}\begin{matrix}y\ge2\\2-y\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2-A\le0\Rightarrow A\ge2\)

Kết luận: để (1) có đúng 2 nghiệm VT=m+1=2=> m=1

Thử lại với m=1 có hai nghiệm \(\left[{}\begin{matrix}y=-1\\y=2\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\x=1\end{matrix}\right.\) thỏa mãn (*)

xét thiếu khi VT <2 có 3 nghiệm nhưng loại một y<2 => thủa mãn có hai nghiệm.

để tính tiếp

Ta có \(\sqrt{\left(m+2\right)x+m}\ge\left|x-1\right|\Leftrightarrow\left(m+2\right)x+m\ge x^2-2x+1\)

                                                   \(\Leftrightarrow m\ge\frac{x^2-4x+1}{x+1}\) (vì \(x\in\left[0;2\right]\)

Xét hàm số \(f\left(x\right)=\frac{x^2-4x+1}{x+1}\) trên đoạn \(\left[0;2\right]\) ta có

\(f'\left(x\right)=\frac{x^2+2x-5}{\left(x+1\right)^2};f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=-1+\sqrt{6}\)

Lập bảng biến thiên ta được 

\(f\left(0\right)=1;f\left(2\right)=-1\)

\(f\left(-1+\sqrt{6}\right)=2\sqrt{6}-6\)

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm thì \(m>\) min (0;2] \(f\left(x\right)=f\left(-1+\sqrt{6}\right)=2\sqrt{6-6}\)

\(\Leftrightarrow x^3-3x^2-1=-3m\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=x^3-3x^2-1\Rightarrow f'\left(x\right)=3x^2-6x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=2\end{matrix}\right.\)

BBT:

Từ BBT ta thấy để đường thẳng \(y=-3m\) cắt đồ thị \(f\left(x\right)\) tại 3 điểm pb trong đó có đúng 2 điểm có hoành độ lớn hơn 1 \(\Leftrightarrow-5< -3m< -3\)

\(\Leftrightarrow1< m< \frac{5}{3}\)

Gọi \(s = sin ⁡ x , \textrm{ }\textrm{ } c = cos ⁡ x\). Vì \(x \in \left[\right. 0 , \pi / 4 \left]\right.\) nên \(c > 0\). Chia cả phương trình cho \(cos ⁡ x\) được (không làm mất nghiệm vì \(cos ⁡ x \neq 0\) trên đoạn này). Đặt \(t = tan ⁡ x = \frac{s}{c} \in \left[\right. 0 , 1 \left]\right.\). Sau khi biến đổi ta được:

tương đương (sau tính toán và đưa về \(t\)):

Vậy nghiệm ứng với \(t\) là:

hoặc \(t\) là nghiệm của đa thức bậc hai

Ta cần số nghiệm \(t \in \left[\right. 0 , 1 \left]\right.\). Lưu ý \(t = 1\) luôn là một nghiệm (tương ứng \(x = \pi / 4\)). Để phương trình chỉ có một nghiệm trên \(\left[\right. 0 , \pi / 4 \left]\right.\) tức là không có nghiệm \(t\) nào khác nằm trong \(\left[\right. 0 , 1 \left.\right)\). Do đó phải đảm bảo rằng phương trình \(q \left(\right. t \left.\right) = 0\) không có nghiệm trong đoạn \(\left[\right. 0 , 1 \left.\right)\).

Phân tích \(q \left(\right. t \left.\right)\):

• Đặt \(D_{q} = 4 \left(\right. \left(\right. m - 1 \left.\right) \left(\right. m - 3 \left.\right) \left.\right)\). Nếu \(1 < m < 3\) thì \(D_{q} < 0\) → \(q\) không có nghiệm thực → không có nghiệm trong \(\left[\right. 0 , 1 \left.\right)\) → duy nhất \(t = 1\).
• Nếu \(m \geq 3\) thì hai nghiệm của \(q\) là \(m \pm \sqrt{\left(\right. m - 1 \left.\right) \left(\right. m - 3 \left.\right)}\); cả hai đều \(> 1\) (không rơi vào \(\left[\right. 0 , 1 \left.\right)\)) → chỉ \(t = 1\).
• Nếu \(m \leq 1\) thì \(q\) có nghiệm thực; xét riêng:
• • Nếu \(m < \frac{3}{4}\) thì một nghiệm của \(q\) âm và nghiệm kia \(> 1\) → không có nghiệm trong \(\left[\right. 0 , 1 \left.\right)\) → chỉ \(t = 1\).
  • Nếu \(m = \frac{3}{4}\) thì \(q \left(\right. 0 \left.\right) = 0\) (tức \(t = 0\) là nghiệm) → hai nghiệm trong \(\left[\right. 0 , \frac{\pi}{4} \left]\right.\): \(t = 0\) và \(t = 1\) → không thỏa yêu cầu “duy nhất”.
  • Nếu \(\frac{3}{4} < m < 1\) thì \(q\) có đúng một nghiệm nằm trong \(\left(\right. 0 , 1 \left.\right)\) → cộng với \(t = 1\) ta có ít nhất hai nghiệm → không thỏa.
  • Nếu \(m = 1\) thì \(q \left(\right. t \left.\right) = \left(\right. t - 1 \left.\right)^{2}\) và duy nhất nghiệm trong đoạn là \(t = 1\) (bội) → vẫn một nghiệm.

Kết luận: phương trình có đúng một nghiệm \(x \in \left[\right. 0 , \pi / 4 \left]\right.\) khi và chỉ khi

(Nói ngắn: tất cả \(m\) ngoại trừ đoạn \(\left[\right. \frac{3}{4} , 1 \left.\right)\); điểm \(m = \frac{3}{4}\) bị loại vì lúc đó có thêm nghiệm \(x = 0\).)

Giải:

\(\sqrt{3x^2-3}=\sqrt{m-x^2}\)

Ta thấy hàm \(f(x)=\sqrt{3x^2-3}-\sqrt{m-x^2}\) là hàm chẵn , tức là nếu \(x\) là nghiệm thì \(-x\) cũng là nghiệm. Mà \(3x^2-3\geq 0\) nên \(x\neq 0\), nên phương trình luôn tồn tại hai nghiệm đối nhau phân biệt với mọi \(m\) xác định.

Lúc này, ta chỉ cần xét \(m\) thỏa mãn đkxđ của PT, tức là \(m\geq x^2\geq 1\)

Vậy \(m\geq 1\)