d) Để \(\dfrac{x^2-59}{x+8}\) nguyên \(\Leftrightarrow x^2-59⋮x+8\)

\(\Rightarrow\left(x^2-64\right)+5⋮x+8\)

\(\Rightarrow\left(x^2-8^2\right)+5⋮x+8\)

\(\Rightarrow\left(x-8\right)\left(x+8\right)+5⋮x+8\)

\(\Rightarrow5⋮x+8\)

\(\Rightarrow x+8\in U\left(5\right)=\left\{-1;1;-5;5\right\}\)

\(\Rightarrow x\in\left\{-9;-7;-13;-3\right\}\)

Vậy \(x\in\left\{-9;-7;-13;-3\right\}\) thì \(\dfrac{x^2-59}{x+8}\in Z\)

1b.

Cach 1

Ta co:

\(M=\frac{x^2-2x+2015}{x^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(M-1\right)x^2+2x-2015=0\)

Xet \(M=1\)suy ra:\(x=\frac{2015}{2}\)

Xet \(M\ne1\)

\(\Leftrightarrow\Delta^`\ge0\)

\(1+\left(M-1\right).2015\ge0\)

\(\Leftrightarrow2015M-2014\ge0\)

\(\Leftrightarrow M\ge\frac{2014}{2015}\)

Dau '=' xay ra khi \(x=-\frac{1}{M-1}\Leftrightarrow x=2015\)

Vay \(M_{min}=\frac{2014}{2015}\)khi \(x=2015\)

Cach 2

\(M=\frac{x^2-2x+2015}{x^2}=\frac{2014x^2+\left(x-2015\right)^2}{2015x^2}=\frac{2014}{2015}+\frac{\left(x-2015\right)^2}{2015x^2}\ge\frac{2014}{2015}\)

Dau '=' xay ra khi \(x=2015\)

Vay \(M_{min}=\frac{2014}{2015}\)khi \(x=2015\)

Bài 2 :

a) \(10\le\overline{a_7a_8}\le31\) để \(100\le\left(\overline{a_7a_8}\right)^2\le999\) là số có ba chữ số.

Với mỗi số trong khoảng \(\left\{10;11;12;...;31\right\}\) ta lại có một số \(\overline{a_1a_2a_3}\) khác nhau; còn a₄; a₅; a₆ tùy ý.

b) Trước hết : \(23\le\overline{a_7a_8}\le46\)

Trước hết để a₇a₈ khi lập phương lên sẽ vẫn có chữ số tận cùng ban đầu thì \(a_8\in\left\{0;1;4;5;6;9\right\}\)

Giả sử a₈ = 0 thì số a₄a₅a₆a₇a₈ chia hết cho 10³ = 1000; hay a₇ phải bằng 0; loại.

Nếu a₈ = 1 thì xét \(23\le\overline{a_7a_8}\le46\) có số 31 không thỏa mãn.

Tương tự xét các trường hợp còn lại khi đã có giới hạn \(23\le\overline{a_7a_8}\le46\).

Bài 1 :

Không đủ dữ kiện.

Ngộ nhỡ m = n = 2 thì điều phải chứng minh là sai.