Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Nếu được dùng giai thừa thì...
\(\left(\left(\left(\left(2!\right)!\right)!\right)...\right)!\) = :))
Gõ lại lần cuối, không được nữa nghỉ chơi hoc24:v
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $$a^3b^2+b^3c^2+c^3a^2\geq abc(a^2+b^2+c^2)$$Ta có$2\left( {{a^3}{b^2} + {b^3}{c^2} + {c^3}{a^2}} \right) - 2abc\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)$$= \displaystyle\LARGE{\sum} {{a^3}} \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) -\displaystyle \LARGE{\sum} {{a^2}} ({b^3} - {c^3})$Mặt khác ta có đẳng thức sau
$${a^2}\left( {{b^3} - {c^3}} \right) + {b^2}\left( {{c^3} - {a^3}} \right) + {c^2}\left( {{a^3} - {b^3}} \right) = {a^2}{\left( {b - c} \right)^2} + {b^2}{\left( {c - a} \right)^2} + {c^2}{\left( {a - b} \right)^2}$$Từ đó dễ dàng thu được$$2\left( {{a^3}{b^2} + {b^3}{c^2} + {c^3}{a^2}} \right) - 2abc\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)$$$$= {a^2}{\left( {b - c} \right)^2}\left( {a - b + c} \right) + {b^2}{\left( {c - a} \right)^2}\left( {b - c + a} \right) + {c^2}{(a - b)^2}\left( {c - a + b} \right)$$$$= {S_a}{\left( {b - c} \right)^2} + {S_b}{\left( {c - a} \right)^2} + {S_c}{\left( {a - b} \right)^2}$$Với $${S_a} = {a^2}\left( {a - b + c} \right)$$$${S_b} = {b^2}\left( {b - c + a} \right)$$$${S_c} = {c^2}\left( {c - a + b} \right)$$Do $a,$$b,$$c$ là độ dài ba cạnh tam giác nên rõ ràng $S_a,S_b,S_c$ không âm. Ta thu được điều hiển nhiên.
Xét hiệu hai vế bất đẳng thức đã cho ta được:
\(VT-VP={\dfrac { \left( a-b \right) ^{2}{c}^{2}}{ \left( b+c \right) \left( c +a \right) \left( a+b+c \right) }}+{\dfrac { \left( b-c \right) ^{2}{a }^{2}}{ \left( a+b \right) \left( c+a \right) \left( a+b+c \right) } }+{\dfrac { \left( ac-{b}^{2} \right) ^{2}}{ \left( a+b \right) \left( b+c \right) \left( a+b+c \right) }}\geqslant 0. \)
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c.$
Cách khác.
Quy đồng, ta cần chứng minh:
\(2\,{a}^{3}{c}^{2}+{a}^{2}{b}^{3}-3\,{a}^{2}{b}^{2}c-2\,{a}^{2}b{c}^{2} +2\,{a}^{2}{c}^{3}+a{b}^{4}-3\,a{b}^{2}{c}^{2}+{b}^{4}c+{b}^{3}{c}^{2}\geq 0\)
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
\(3\,a{b}^{2}{c}^{2}\leq \dfrac{5}{4}{a}^{2}{c}^{3}+\dfrac{1}{2}\,a{b}^{4}+\dfrac{1}{4} \,{b}^{4}c+{b}^{3}{c}^{2},\\2\,{a}^{2}b{c}^{2}\leq {\dfrac {7\,{a}^{3}{c} ^{2}}{10}}+\dfrac{1}{5}{a}^{2}{b}^{3}+\dfrac{3}{4}{a}^{2}{c}^{3}+{\dfrac {7\,{b}^{4}c }{20}},\\3\,{a}^{2}{b}^{2}c\leq {\dfrac {13\,{a}^{3}{c}^{2}}{10}}+\dfrac{4}{5}{a }^{2}{b}^{3}+\dfrac{1}{2}a{b}^{4}+\dfrac{2}{5}{b}^{4}c \)
Xong :D
[Toán.C35 _ 24.1.2021]
Điền hai số còn thiếu vào quy luật sau: 0 - 1 - 13 - 61 - ? - ?
\(\Rightarrow0-1-13-61-253-1017\)
[Toán.C36 _ 24.1.2021]
Điền số còn thiếu vào quy luật sau: 32 - 12 - 136 - 176 - ? - 196
\(\Rightarrow\text{32-12-136-176-186-196}\)
Xí câu dễ trước
Câu 31.
a) Thay $b=\dfrac{5-3a}{4}$ vào và rút gọn thì cần chứng minh $(5a-3)^2\geqslant 0.$
b) Ta có: \(5^2=\left(2+3\right)\left(2a^2+3b^2\right)\ge\left(2a+3b\right)^2\Rightarrow2a+3b\le5\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1.\)
Bài 33.
Chuyển về pqr, cần chứng minh:
\({\dfrac { \left( {p}^{2}-3\,q \right) \left( {p}^{3}q-{p}^{2}r-2\,p{q} ^{2}+6\,qr \right) }{2qr \left( {p}^{2}-2\,q \right) }}\geqslant 0 \)
Đây là điều hiển nhiên nếu khai triển biểu thức \({p}^{3}q-{p}^{2}r-2\,p{q}^{2}+6\,qr\) ta sẽ được một đa thức với tất cả hệ số đều dương.
Đây là cách của em.
Ta chứng minh bất đẳng thức sau:
\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{a+b+c}{2}+\dfrac{27}{16}\cdot\dfrac{\left(a-b\right)^2}{a+b+c}\)
\(\bullet\) Nếu \(c\ne \text{mid}\{a,b,c\}\) thì \(\left(a-c\right)\left(b-c\right)\ge0\Rightarrow\left(a-b\right)^2\le a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\) từ đây đưa về đối xứng và chứng minh dễ dàng.
\(\bullet\) Nếu \(c= \text{mid}\{a,b,c\}.\) Chuẩn hóa \(a+b=1\Rightarrow0\le c\le1.\) Đặt \(x=ab\Rightarrow0< x\le c\left(1-c\right)\)
Cần chứng minh
\(f(x)=108\,{x}^{2}+ \left( 16\,{c}^{3}+84\,{c}^{2}+12\,c-83 \right) x+ \left( c+1 \right) \left( 16\,{c}^{4}+8\,{c}^{3}-16\,{c}^{2}-19\,c+ 16 \right) \ge 0\)
\(f'(x)=16\,{c}^{3}+84\,{c}^{2}+12\,c+216\,x-83 \)
*Nếu $0 \le c \le \dfrac{1}{2}$ thì \(f'\left(x\right)\le\left(2c-1\right)\left(8c^2-62c+83\right)\le0\)
Khi đó $f(x)$ là hàm nghịch biến nên \(f\left(x\right)\ge f\left(c\left(1-c\right)\right)=2\left(8c^2-11c+8\right)\left(2c-1\right)^2\ge0\)
*Nếu $\dfrac{1}{2} \le c \le 1$ thì \(\Delta_x= \left( 64\,{c}^{4}-992\,{c}^{3}-1740\,{c}^{2}-788\,c-23 \right) \left( 2\,c-1 \right) ^{2}\le 0\)
ta có điều phải chứng minh
:D
Lâu rồi mới đăng bài vì mấy bài kia khó quá :vv
C39:
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=a>0\\y+z+4x=b>0\\z+x+16y=c>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{b-a}{3}\\y=\dfrac{c-a}{15}\\z=\dfrac{21a-5b-c}{15}\end{matrix}\right.\).
Khi đó áp dụng bđt AM - GM ta có:
\(P=\dfrac{5b+c-6a}{15a}+\dfrac{4a-b}{3b}+\dfrac{16a-c}{15c}=\left(\dfrac{b}{3a}+\dfrac{4a}{3b}\right)+\left(\dfrac{c}{15a}+\dfrac{16a}{15c}\right)-\left(\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{15}\right)\ge\dfrac{4}{3}+\dfrac{8}{15}-\dfrac{4}{5}=\dfrac{16}{15}\).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}b=2a\\c=4a\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y+z+4x=2\left(x+y+z\right)\\z+x+16y=4\left(x+y+z\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=y+z\\4y=x+z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow21x=35z=15z\).
C47: Dễ thấy x > 1.
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có \(P=\dfrac{x^2+\dfrac{1}{x^2}}{x-\dfrac{1}{x}}=\dfrac{x^4+1}{x^3-x}=\dfrac{\left(x^2-1\right)^2}{x^3-x}+\dfrac{2x^2}{x^3-x}=\dfrac{x^2-1}{x}+\dfrac{2x}{x^2-1}\ge2\sqrt{2}\).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x^2-1}{x}=\dfrac{2x}{x^2-1}\\xy=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\sqrt{2+\sqrt{3}}\\y=\dfrac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}\end{matrix}\right.\).
Vậy Min P = \(2\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\sqrt{2+\sqrt{3}}\\y=\dfrac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}\end{matrix}\right.\)
C48: Đề bài là tìm GTLN chứ nhỉ?
Đặt x = a; 2y = b; 3z = c (a, b, c > 0). Khi đó a + b + c = 2.
Ta có \(S=\sqrt{\dfrac{ab}{ab+2c}}+\sqrt{\dfrac{bc}{bc+2a}}+\sqrt{\dfrac{ca}{ca+2b}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}+\sqrt{\dfrac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{ca}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}\)
\(\le_{AM-GM}\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{c+a}+\dfrac{b}{c+b}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a}{b+a}\right)=\dfrac{1}{2}.3=\dfrac{3}{2}\).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = \(\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{3};y=\dfrac{1}{3};z=\dfrac{2}{9}\).
Vậy Max S = \(\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{3};y=\dfrac{1}{3};z=\dfrac{2}{9}\).
nghe vui thật đấy nhưng em không có fb :'((
Ngoài đăng trên facebook anh cũng sẽ đăng trên hoc24 là chính. Em theo dõi những diễn biến tiếp theo của cuộc thi nha :>
yes,sir ^^
''P/s: Tiền sự kiện là sự kiện mà fan hâm mộ trinh thám chắc chắn sẽ hóng chờ đó!!!''-Đoạn này là sao hả a ._.? Sự kiện gì thế..:)
Chúc cuộc thi thành công chói như ánh sáng của Đảng :>
À chiều nay mình vừa mới thi xong nha các bae =))
Sự kiện gì nhỉ?... Cùng chờ một vài ngày nữa, khi sự kiện bắt đầu sẽ biết nha em:) Cảm ơn em rất nhiều vì đã ủng hộ cuộc thi :> Chúc em có kết quả thi học kì I vượt mong đợi :>
Em k có f ạ
Vậy là từ nay sẽ có thể kiếm rất rất nhiều GP và thẻ cào khi cuộc thi này bắt đầu
lớp mấy thi?
không sao em vì anh cũng đăng lên trên hoc24 mà, nhưng nếu em tạo fb nhớ ủng hộ trang fb của cuộc thi nha :>
hi vọng bạn sẽ chinh phục được nhiều giải thưởng khủng nha :>
năm nay đặc biệt nhé bạn, vì khối lớp nào cũng có thể tham dự :>
vì sao trong thực tế người ta khuyên không nên để nhiều cây xanh và hoa trong phòng
Cho e xin địa chỉ web của cuộc thi trên hoc24 với aj
Có rất nhiều địa chỉ web của cuộc thi em nhé, tuy nhiên do hoc24 mới cập nhật nên mùa 2 và mùa 3 hiện tại trên phiên bản mới vẫn chưa xuất hiện, em có thể ấn vào link https://hoc24.vn/cuoc-thi em nhé nhưng mùa 1 nó đã rất khác với mùa 2 và 3 rồi, mà lại hơi nhạt chút:) Bắt đầu từ mùa 3 là có thêm hậu sự kiện, năm nay có thêm tiền sự kiện em nha :>
Những câu hỏi như thế này bạn đăng ra thành một câu hỏi mới để cộng đồng giải nhé bạn. Nhưng mình sẽ trả lời nhằm giải đáp thắc mắc của bạn:
Không nên để nhiều cây xanh và hoa trong phòng vì vào ban đêm, cây xanh và hoa sẽ thải ra khí cacbonic (CO2) gây ra tình trạng thiếu khí dưỡng, gây hại cho sức khỏe con người.
Chúc cuộc thi năm nay sẽ thành công tốt đẹp ạ!
P/s: Anh lm mn hóng quá ikkk
Cảm ơn sự mong đợi và ủng hộ của em cũng như cộng đồng, hãy cùng chờ đón thông báo mở sự kiện nha :> Anh mong mọi người sẽ luôn ủng hộ cuộc thi :>
Em không có Facebook nhưng cũng thấy hay, muốn thử nhưng hơi sợ:(
Uầy giờ có cả page trên Facebook nữa à :v
Không sao em, anh sẽ đăng chuyên mục này trên cả hoc24 và Facebook mà. Yếu tố kinh dị chắc gần như không có nên em cứ thoải mái tận hưởng và tham gia vào câu chuyện nha :>
Đúng đó ông vjp không :v
https://www.facebook.com/vemc.contest
Cuộc thi Toán Tiếng Anh VEMC | Facebook
Ủng hộ và theo dõi tốt nhất cuộc thi bằng cách like và theo dõi trang các bạn nha :>
cho em hỏi anh nào đêy bạn ?
Anh này là anh Trần Minh Hoàng trước đây á :v Anh mới đổi tên :v
hay đó mik thik lắm
Vjp :v.
Năm nay có cả trinh thám nữa à, thế thì chẳng lẽ lại để tên VEMC :v.
hmmm cái tên nghe chưa bao hàm đủ nhể :v
cảm ơn bạn đã ủng hộ cuộc thi, nếu bạn có facebook hãy like và follow để cập nhật thông tin thuận lợi nhất nha :>
Tui rep ông tin nhắn rồi đó :v