ĐKXĐ: \(z\ne0\)

Ta có: \(3x=4y=6z\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{\frac{1}{3}}=\frac{y}{\frac{1}{4}}=\frac{z}{\frac{1}{6}}\)

Đặt \(\frac{x}{\frac{1}{3}}=\frac{y}{\frac{1}{4}}=\frac{z}{\frac{1}{6}}=k\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{k}{3}\\y=\frac{k}{4}\\z=\frac{k}{6}\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\frac{xy}{z}=-18\)

\(\Leftrightarrow xy=-18z\)

\(\Leftrightarrow\frac{k}{3}\cdot\frac{k}{4}=-18\cdot\frac{k}{6}\)

\(\Leftrightarrow\frac{k^2}{12}=\frac{-18k}{6}\)

\(\Leftrightarrow\frac{k^2}{12}=-3k\)

\(\Leftrightarrow k^2=-3k\cdot12=-36k\)

\(\Leftrightarrow k^2+36k=0\)

\(\Leftrightarrow k\left(k+36\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}k=0\\k+36=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}k=0\\k=-36\end{matrix}\right.\)

Trường hợp 1: k=0

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{k}{3}=\frac{0}{3}=0\\y=\frac{k}{4}=\frac{0}{4}=0\\z=\frac{k}{6}=\frac{0}{6}=0\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Trường hợp 2: k=-36

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{k}{3}=\frac{-36}{3}=-12\\y=\frac{k}{4}=\frac{-36}{4}=-9\\z=\frac{k}{6}=\frac{-36}{6}=-6\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy: (x,y,z)=(-12;-9;-6)

a) Ta có:

\(3x=4y\Rightarrow\frac{x}{4}=\frac{y}{3}\) (1)

\(3y=5z\Rightarrow\frac{y}{5}=\frac{z}{3}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{x}{4}=\frac{y}{3};\frac{y}{5}=\frac{z}{3}.\)

Có: \(\frac{x}{4}=\frac{y}{3}\Rightarrow\frac{x}{20}=\frac{y}{15}.\)

\(\frac{y}{5}=\frac{z}{3}\Rightarrow\frac{y}{15}=\frac{z}{9}.\)

=> \(\frac{x}{20}=\frac{y}{15}=\frac{z}{9}\) và \(x-y-z=1.\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\frac{x}{20}=\frac{y}{15}=\frac{z}{9}=\frac{x-y-z}{20-15-9}=\frac{1}{-4}=\frac{-1}{4}.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{20}=-\frac{1}{4}\Rightarrow x=\left(-\frac{1}{4}\right).20=-5\\\frac{y}{15}=-\frac{1}{4}\Rightarrow y=\left(-\frac{1}{4}\right).15=-\frac{15}{4}\\\frac{z}{9}=-\frac{1}{4}\Rightarrow z=\left(-\frac{1}{4}\right).9=-\frac{9}{4}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left(-5;-\frac{15}{4};-\frac{9}{4}\right).\)

Chúc bạn học tốt!

Lời giải:

\(P=\frac{3x}{y+z}+\frac{4y}{x+z}+\frac{5z}{x+y}\)

\(\Rightarrow P+12=\frac{3x}{y+z}+3+\frac{4y}{x+z}+4+\frac{5z}{x+y}+5\)

\(=\frac{3(x+y+z)}{y+z}+\frac{4(x+y+z)}{x+z}+\frac{5(x+y+z)}{x+y}\)

\(=(x+y+z)\left(\frac{3}{y+z}+\frac{4}{x+z}+\frac{5}{x+y}\right)\)

\(\geq (x+y+z).\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{5})^2}{y+z+x+z+x+y}\) (BĐT Svac-xơ)

\(=\frac{(\sqrt{3}+2+\sqrt{5})^2}{2}\)

\(\Rightarrow P\geq \frac{(2+\sqrt{3}+\sqrt{5})^2}{2}-12\) (min)

Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{\sqrt{3}}{y+z}=\frac{2}{x+z}=\frac{\sqrt{5}}{x+y}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{3z-4y}{5}=\frac{5y-3x}{4}=\frac{4x-5z}{3}=\frac{3z-4y+5y-3x+4x-5z}{5+4+3}=\frac{0}{12}=0\)

\(\frac{3z-4y}{5}=0\Rightarrow3z-4y=0\Rightarrow3z=4y\)\(\Rightarrow\frac{y}{3}=\frac{z}{4}\)(1)

 \(\frac{5y-3x}{4}=0\Rightarrow5y-3x=0\Rightarrow5y=3x\Rightarrow\frac{x}{5}=\frac{y}{3}\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{x}{5}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{25}=\frac{y^2}{9}=\frac{z^2}{16}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{x^2}{25}=\frac{y^2}{9}=\frac{z^2}{16}=\frac{x^2-z^2}{25-16}=\frac{36}{9}=4\)

\(\frac{x^2}{25}=4\Rightarrow x^2=100\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=10\\x=-10\end{cases}}\)

\(\frac{y^2}{9}=4\Rightarrow y^2=36\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y=6\\y=-6\end{cases}}\)

\(\frac{z^2}{16}=4\Rightarrow z^2=64\Rightarrow\orbr{\begin{cases}z=8\\z=-8\end{cases}}\)

Vậy........................

Đề dài quá nên mình làm từ từ.

a) Từ giả thiết ta có \(\frac{x}{15}=\frac{y}{7}=\frac{z}{3}=\frac{t}{1}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{x}{15}=\frac{y}{7}=\frac{z}{3}=\frac{t}{1}=\frac{x-y+z-t}{15-7+3-1}=\frac{10}{10}=1\)

Từ đó suy ra x =15; y =7;z=3;t=1

Đúng ko ta:3

b) \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{5}=\frac{y}{6}\\\frac{y}{8}=\frac{z}{7}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{20}=\frac{y}{24}\\\frac{y}{24}=\frac{z}{21}\end{matrix}\right.\Rightarrow\frac{x}{20}=\frac{y}{24}=\frac{z}{21}\). Trở về dạng câu a:)

c)\(\left\{{}\begin{matrix}2x=3y\\5y=7z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{3}=\frac{y}{2}\\\frac{y}{7}=\frac{z}{5}\end{matrix}\right.\). trở về dạng câu b:D

Cho 3x=4y và 3y=5z

a, tính P= \(\dfrac{2x+3y+z}{x-y+z}\)

=> \(\dfrac{x}{4}=\dfrac{y}{3}\) và \(\dfrac{y}{5}=\dfrac{z}{3}\)

hay \(\dfrac{x}{20}=\dfrac{y}{15}\) và \(\dfrac{y}{15}=\dfrac{z}{9}\)

=> \(\dfrac{x}{20}=\dfrac{y}{15}=\dfrac{z}{9}\)

= \(\dfrac{2x+3y+z}{2.20-3.15+z}\)= \(\dfrac{2x+3y+z}{40-45+z}\)

\(a,3x=-5y\Rightarrow\dfrac{x}{-5}=\dfrac{y}{3}\) và \(y-x=-3\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau có:

\(\dfrac{x}{-5}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{y-x}{3-\left(-5\right)}=-\dfrac{3}{8}\)

+) \(\dfrac{x}{-5}=\dfrac{3}{8}\Rightarrow8x=-15\Rightarrow x=-\dfrac{15}{8}\)

+) \(\dfrac{y}{3}=-\dfrac{3}{8}\Rightarrow8y=-9\Rightarrow y=-\dfrac{9}{8}\)

Vậy ...

xem lại đề

\(\)