Chọn số trung gian là \(\frac{n}{n+2}\)

\(\frac{n+1}{n+2}>\frac{n}{n+2}\)

\(\frac{n}{n+3}< \frac{n}{n+2}\)

\(\Rightarrow\frac{n+1}{n+2}>\frac{n}{n+2}>\frac{n}{n+3}\)

Vậy \(\frac{n+1}{n+2}>\frac{n}{n+3}\)

thật chứ????????

1/100

Bạn cần viết đề bài bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo) để mọi người hiểu đề của bạn hơn nhé. 

Bài 1:

a: p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p=3k+1 hoặc p=3k+2

Nếu p=3k+1 thì 8p+1=8(3k+1)+1=24k+8+1=24k+9=3(8k+3)⋮3

=>Loại

=>p=3k+2

4p+1=4(3k+2)+1

=12k+8+1

=12k+9

=3(4k+3)⋮3

=>4p+1 là hợp số

b: TH1: p=3

\(2p^2+1=2\cdot3^2+1=2\cdot9+1=18+1=19\) là số nguyên tố

=>Nhận

\(7p+2=7\cdot3+2=21+2=23\) là số nguyên tố

TH2: p=3k+1

\(2p^2+1=2\left(3k+1\right)^2+1=2\left(9k^2+6k+1\right)+1\)

\(=18k^2+12k+2+1=18k^2+12k+3=3\left(6k^2+4k+1\right)\) ⋮3

=>Loại

TH3: p=3k+2

\(2p^2+1=2\left(3k+2\right)^2+1\)

\(=2\left(9k^2+12k+4\right)+1\)

\(=18k^2+24k+8+1=18k^2+24k+9=3\left(6k^2+8k+3\right)\) ⋮3

=>Loại

Bài 1

a) Cho \(p\) là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng \(8 p + 1\) là số nguyên tố. Chứng minh \(4 p + 1\) là hợp số.

Chứng minh \(8 p + 1\) là số nguyên tố:

• Ta có \(p\) là số nguyên tố lớn hơn 3, vậy \(p \geq 5\).
• Xét biểu thức \(8 p + 1\). Ta sẽ thử một số giá trị của \(p\):
• • Nếu \(p = 5\), ta có:
    \(8 p + 1 = 8 \left(\right. 5 \left.\right) + 1 = 41\)
    \(41\) là số nguyên tố.
  • Nếu \(p = 7\), ta có:
    \(8 p + 1 = 8 \left(\right. 7 \left.\right) + 1 = 57\)
    \(57\) không phải là số nguyên tố vì \(57 = 3 \times 19\).
  • Nếu \(p = 11\), ta có:
    \(8 p + 1 = 8 \left(\right. 11 \left.\right) + 1 = 89\)
    \(89\) là số nguyên tố.

Vậy, không phải mọi \(p\) thỏa mãn điều kiện bài toán đều tạo ra \(8 p + 1\) là số nguyên tố. Ta không thể chứng minh điều này với mọi \(p\). Nên bài toán này có thể cần điều kiện bổ sung hoặc có thể có lỗi trong cách đặt bài toán.

Chứng minh \(4 p + 1\) là hợp số:

• Ta có \(p \geq 5\), vậy xét \(4 p + 1\):
• • Nếu \(p = 5\), ta có:
    \(4 p + 1 = 4 \left(\right. 5 \left.\right) + 1 = 21\)
    \(21\) là hợp số vì \(21 = 3 \times 7\).
  • Nếu \(p = 7\), ta có:
    \(4 p + 1 = 4 \left(\right. 7 \left.\right) + 1 = 29\)
    \(29\) là số nguyên tố.
  • Nếu \(p = 11\), ta có:
    \(4 p + 1 = 4 \left(\right. 11 \left.\right) + 1 = 45\)
    \(45\) là hợp số vì \(45 = 3 \times 15\).

Như vậy, không phải mọi giá trị của \(p\) thỏa mãn điều kiện \(p\) đều tạo ra \(4 p + 1\) là hợp số. Ta không thể chứng minh điều này cho mọi \(p\) mà không có điều kiện bổ sung.

b) Chứng minh \(p\) và \(2 p^{2} + 1\) là các số nguyên tố. Hỏi \(7 p + 2\) là số nguyên tố hay hợp số?

Giả sử \(p\) là số nguyên tố và \(2 p^{2} + 1\) là số nguyên tố. Ta sẽ thử một số giá trị của \(p\).

• Nếu \(p = 5\), ta có:
  \(2 p^{2} + 1 = 2 \left(\right. 5 \left.\right)^{2} + 1 = 2 \left(\right. 25 \left.\right) + 1 = 51\)
  \(51\) không phải là số nguyên tố vì \(51 = 3 \times 17\).
  Như vậy, không phải mọi \(p\) thỏa mãn điều kiện bài toán đều tạo ra \(2 p^{2} + 1\) là số nguyên tố. Ta không thể chứng minh điều này với mọi giá trị của \(p\).

Bài 2

Cho số tự nhiên \(n > 2\) và không chia hết cho 3. Chứng minh rằng hai số \(n^{2} - 1\) và \(n^{2} + 1\) không thể đồng thời là số nguyên tố.

Chứng minh:

• Gọi \(p = n^{2} - 1\) và \(q = n^{2} + 1\).
• Ta biết \(p = n^{2} - 1 = \left(\right. n - 1 \left.\right) \left(\right. n + 1 \left.\right)\).
• • Nếu \(n\) là số nguyên lớn hơn 2, thì \(p = n^{2} - 1\) sẽ là một tích của hai số nguyên lớn hơn 1, do đó \(p\)là hợp số, không phải là số nguyên tố.
• Do đó, \(p = n^{2} - 1\) không thể là số nguyên tố.
• Tiếp theo, ta xét \(q = n^{2} + 1\).
• • \(n^{2} + 1\) có thể là số nguyên tố hoặc hợp số tùy thuộc vào giá trị của \(n\), nhưng không thể có cả \(p = n^{2} - 1\) và \(q = n^{2} + 1\) cùng là số nguyên tố.

Kết luận: Do \(p = n^{2} - 1\) không thể là số nguyên tố, nên \(n^{2} - 1\) và \(n^{2} + 1\) không thể đồng thời là số nguyên tố.

Bài 3

Ta gọi \(p\) và \(q\) là hai số nguyên tố liên tiếp nếu giữa \(p\) và \(q\) không có số nguyên tố nào khác (ví dụ: \(7\) và \(11\) là hai số nguyên tố liên tiếp). Tìm ba số nguyên tố liên tiếp \(p\), \(q\), \(r\) sao cho \(p^{2} + q^{2} + r^{2}\) cũng là số nguyên tố.

Giải:

Ta sẽ thử một số bộ ba số nguyên tố liên tiếp nhỏ:

• Nếu \(p = 3\), \(q = 5\), \(r = 7\), ta có:
  \(p^{2} + q^{2} + r^{2} = 3^{2} + 5^{2} + 7^{2} = 9 + 25 + 49 = 83\)
  \(83\) là số nguyên tố.

Vậy ba số nguyên tố liên tiếp \(p = 3\), \(q = 5\), \(r = 7\) thỏa mãn điều kiện bài toán, vì \(p^{2} + q^{2} + r^{2} = 83\) là số nguyên tố.

Kết luận: Ba số nguyên tố liên tiếp \(p = 3\), \(q = 5\), \(r = 7\) sao cho \(p^{2} + q^{2} + r^{2} = 83\) là số nguyên tố.

Bạn Nam nói đúng

Vì : (-1/243)^100 và (-1/125)^100 là số nguyên dương ( mũ số chẵn )

Mà 243>125

suy ra : 1/243<1/125

Vậy (-1/243)^100<(-1/125)^100

a: Vì a<=0 

nên -7a>=0

=>-7a>-10

b: Trường hợp 1: a<=0

=>-17a>=-27a

Trường hợp 2: a>0

=>-17a<-27a

• Ta có - 7 > -22

          nên với a < 0, (-7).a < (-22).a

• Ta có 15 > 14 và a lớn hơn hoặc bằng 5 nên (a - 5) lớn hơn hoặc bằng 0 suy ra 15.(a - 5) > 14.(a - 5). 

SỐ DƯƠNG LỚN HƠN