ai trả lời giúp mình với

mạo phép sửa đề:\(\widehat{IKJ}=60^o\)

A B C I J K

vì tam giác ABC đều nên\(\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=60^o\)

ta có:\(\widehat{AKJ}+\widehat{IKJ}+\widehat{IKB}=180^o\)(K\(\in\)AB)

\(\Rightarrow\widehat{AKJ}+\widehat{IKB}=180^o-\widehat{IKJ}=120^o\)(1)

xét \(\Delta BIK\):\(\widehat{B}+\widehat{IKB}+\widehat{BIK}=180^o\)(tổng 3 góc trong tam giác)

mà \(\widehat{B}=60^o\Rightarrow\widehat{BIK}+\widehat{IKB}=120^o\)(2)

từ (1)và (2):\(\widehat{AKJ}=\widehat{BIK}\)

xét \(\Delta AKJ\)và\(\Delta BIK\)có:\(\widehat{A}=\widehat{B}=60^o\left(cmt\right)\)

\(\widehat{AKJ}=\widehat{BIK}\left(cmt\right)\Rightarrow\Delta AKJ\)~\(\Delta BIK\left(g.g\right)\)

\(\rightarrow\frac{AJ}{BK}=\frac{AK}{IB}\Leftrightarrow AJ.IB=BK.AK\)

áp dụng BĐT \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)(cách cm:chuyển vế tương đương or dùng cauchy)\(\Rightarrow ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)

\(BK.AK\le\frac{\left(BK+AK\right)^2}{4}\Leftrightarrow AJ.IB\le\frac{AB^2}{4}\)

dấu = xảy ra khi BK=AK hay K là trung điểm của AB

Dạng 3 Bài 1)

`B=(sqrtx/(x-4)+1/(sqrtx-2)):(sqrtx+2)/(x-4)(x>=0,x ne 4)`

`=(sqrtx/(x-4)+(sqrtx+2)/(x-4)):1/(sqrtx-2)`

`=(2sqrtx+2)/(x-4)*(sqrtx-2)`

`=(2sqrtx+2)/(sqrtx+2)`

`b)C=A(B-2)=(sqrtx+2)/(sqrtx-2)*(2sqrtx+2-2sqrtx-4)/(sqrtx+2)`

`=-2/(sqrtx-2)`

Vì `x in ZZ=>sqrtx-2 in ZZ`

`=>-2 vdots sqrtx-2`

`=>sqrtx-2 in Ư(-2)={+-1,+-2}`

`=>sqrtx in {1,3,0,4}`

`=>x in {1,9,0,16}`

Bài 2: 

a) Ta có: \(B=\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{5}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{4}{x-1}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}+\dfrac{5\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}+\dfrac{4}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{x-\sqrt{x}+3\sqrt{x}-3+5\sqrt{x}+5+4}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{x+7\sqrt{x}+6}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+6\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}-1}\)

b) Ta có: \(C=\left(AB+\dfrac{x-5}{\sqrt{x}-5}\right)\cdot\dfrac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}}\)

\(=\left(\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-5}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{x-5}{\sqrt{x}-5}\right)\cdot\dfrac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{x-5+\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}-5}\cdot\dfrac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)

Ta có: \(C-3=\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}-\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\sqrt{x}}>0\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ

\(\Leftrightarrow C>3\)

Lời giải:

a) Thấy $BI,BJ$ là hai phân giác của hai góc kề bù nên \(BI\perp BJ\Rightarrow \angle IBJ=90^0\)

Tương tự \(\angle ICJ=90^0\). Do đó \(\angle IBJ+\angle ICJ=180^0\) nên $BICJ$ nội tiếp

b)

Để ý \(\angle EBI=\angle \frac{A}{2}+\angle \frac{B}{2}=\angle BIE\Rightarrow \triangle BIE\) cân tại $E$ nên $IE=BE$

Khi đó\((\frac{IE}{ME})^2=(\frac{BE}{ME})^2=\frac{BM^2}{ME^2}+1=\cot ^2\frac{\angle EBC}{2}=1+\cot^2\frac{A}{2}=\frac{1}{\sin^2 \frac{A}{2}}(1)\)

Theo công thức bán kinh đường tròn bàng tiếp:

\((\frac{JA}{NJ})^2=(\frac{JA}{JK})^2=\frac{1}{\sin ^2\frac{A}{2}}(2)\)

Từ \((1),(2)\Rightarrow \frac{IE}{ME}=\frac{JA}{NJ}\). Kết hợp với \(\angle MEI=\angle NJI\Rightarrow \triangle MEI\sim \triangle NJA\)

\(\Rightarrow \angle EIM=\angle JAN\Rightarrow IM\parallel AN\) (đpcm)

c) Nhìn hình thức xấu quá, hên xui vậy

Ta có \(\triangle ICJ\sim \triangle BNJ\Rightarrow IC=\frac{CJ.BN}{NJ}\)

Tứ giác $NCKJ$ nội tiếp nên theo định lý Ptoleme \(NK=\frac{2NC.NJ}{CJ}\)

\(\Rightarrow IC.NK=2BN.NC\)

Biết rằng \(JK=r_A=p\tan\frac{A}{2}\rightarrow AK=p\rightarrow NC=CK=p-b\rightarrow BN=p-c\)

\(\rightarrow IC.NK=2(p-b)(p-c)\)

\(\left\{\begin{matrix} \frac{ID}{DA}=\frac{DM}{DN}=\frac{DE}{DJ}=\frac{IE}{AJ}\\ \frac{ID}{DA}=\frac{DM}{DN}=\frac{ME}{NJ}\end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{ID^2}{DA^2}=\frac{IE^2-ME^2}{JA^2-NJ^2}=\frac{BM^2}{AK^2}=\frac{a^2}{4p^2}\Rightarrow\frac{ID}{DA}=\frac{a}{2p}\)

\(AK^2=p^2\). Mặt khác theo định lý hàm cos:

\(AN^2=AB^2+BN^2-2AB.BN\cos\angle ABC=c^2+(p-c)^2-2c(p-c)\cos\frac{A}{2}\)

Có đủ các dữ kiện rồi thì chỉ cần biến đổi đại số thôi

Akai Haruma Nguyễn Huy Thắng Hoàng Lê Bảo Ngọc Trần Việt Linh Võ Đông Anh Tuấn Lê Nguyên Hạo ......................................................................................