Lời giải:
a)

$n^2+n+17\vdots n+1$

$\Leftrightarrow n(n+1)+17\vdots n+1$

$\Rightarrow 17\vdots n+1$

$\Rightarrow n+1\in\left\{\pm 1;\pm 17\right\}$

$\Rightarrow n\in\left\{0;-2;16; -18\right\}$

b)

$n^2+25\vdots n+2$

$\Leftrightarrow n^2-4+29\vdots n+2$

$\Leftrightarrow (n-2)(n+2)+29\vdots n+2$

$\Rightarrow 29\vdots n+2$

$\Rightarrow n+2\in\left\{\pm 1;\pm 29\right\}$

$\Rightarrow n\in\left\{-1;-3; -31; 27\right\}$

c)

$3n^2+5\vdots n-1$

$\Leftrightarrow 3n(n-1)+3(n-1)+8\vdots n-1$

$\Rightarrow 8\vdots n-1$

$\Rightarrow n-1\in\left\{\pm 1;\pm 2;\pm 4;\pm 8\right\}$

$\Rightarrow n\in\left\{0;2;3;-1;5;-3; -7; 9\right\}$

d)

$2n^2+11\vdots 3n+1$

$\Leftrightarrow 3(2n^2+11)\vdots 3n+1$

$\Leftrightarrow 6n^2+33\vdots 3n+1$

$\Leftrightarrow 2n(3n+1)-2n+33\vdots 3n+1$

$\Leftrightarrow 2n(3n+1)-(3n+1)+n+34\vdots 3n+1$

$\Rightarrow n+34\vdots 3n+1$

$\Rightarrow 3n+102\vdots 3n+1$

$\Leftrightarrow (3n+1)+101\vdots 3n+1$

$\Rightarrow 101\vdots 3n+1$

$\Rightarrow 3n+1\in\left\{pm 1;\pm 101\right\}$

$\Rightarrow n\in\left\{0; \frac{-2}{3}; \frac{100}{3}; -34\right\}$

Mà $n$ nguyên nên $n\in\left\{0; -34\right\}$

Câu b:Olm, chào em đây là toán nâng cao chuyên đề phân số, cấu trúc thi chuyên thi hsg. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng phương pháp đánh giá như sau:

Câu b:

B = \(\frac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}\) (n ∈ Z)

Gọi ƯCLN(n\(^3\) + 2n; n\(^4\) + 3n\(^2\) + 1) ⋮ d (1) khi đó:

(n\(^3\) + 2n) ⋮ d; và (n\(^4\) + 3n\(^2\) + 1) ⋮ d

[n.(n\(^3\) + 2n)] ⋮ d và (n\(^4\) + 3n\(^2\) + 1) ⋮ d

[n\(^4\) + 2n\(^2\)] ⋮ d và (n\(^4\) + 3n\(^2\) + 1) ⋮ d

[n\(^4\) + 2n\(^2\) - n\(^4\) - 3n\(^2\) - 1] ⋮ d

[(n\(^4\) - n\(^4\)) - (3n\(^2\) - 2n\(^2\)) - 1] ⋮ d

[0 - (n\(^2\) - 1] ⋮ d

-(n\(^2\) + 1) ⋮ d

(n\(^2\) + 1) ⋮ d (2)

TH1: nếu n ⋮ d suy ra 1 ⋮ d

TH2 nếu n không chia hết cho d khi đó:

Theo (1) ta có: (n\(^3\) + 2n) ⋮ d

n(n\(^2\) + 2) ⋮ d mà n không chia hết cho d nên

(n\(^2\) + 2) ⋮ d (3)

Theo (2) và (3) ta có: [n\(^2\) + 2 - n\(^2\) - 1] ⋮ d

[(n\(^2\) - n\(^2\)) + (2 - 1)] ⋮ d

[0 + 1] ⋮ d

1 ⋮ d

d = 1

Từ những lập luận trên ta có d = 1 với ∀ n ∈ Z hay phân số đã cho là phân số tối giản.

Câu a:

A = \(\frac{4n+1}{6n+1}\) (n ∈ Z)

Gọi ƯCLN(4n + 1; 6n + 1) = d

(4n + 1) ⋮ d và (6n + 1) ⋮ d

[3.(4n + 1)] ⋮ d và [2.(6n + 1)] ⋮ d

[12n + 3] ⋮ d và [12n + 2] ⋮ d

[12n + 3 - 12n - 2] ⋮ d

[(12n - 12n) + (3 - 2)] ⋮ d

[0 + 1] ⋮ d

1 ⋮ d

d = 1

Phân số đã cho là phân số tối giản. (đpcm)

4n - 1 \(⋮n-2\)

4n - 8 + 7 \(⋮n-2\)

=> 7\(⋮n-2\)

=> n-2\(\in\text{Ư}\left(7\right)\)

=> n - 2\(\in\left\{-7;-1;1;7\right\}\)

b và c nữa bạn

quên nữa n thuộc Z tìm n