Đặt \(A\left(x\right)=h\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\)

\(=\left(x-2\right)\left(x^2+2\right)\)

\(=x^3+2x-2x^2-4=x^3-2x^2+2x-4\)

=>A(x) có bậc là 3

=>Đa thức dư khi F(x) chia cho A(x) sẽ có bậc tối đa là 2

Gọi đa thức dư đó có dạng là \(B\left(x\right)=ax^2+bx+c\) , gọi đa thức thương có dạng là \(Q\left(x\right)\)

Do đó, ta có: \(f\left(x\right)=Q\left(x\right)\left(x-2\right)\left(x^2+2\right)+ax^2+bx+c\)

f(x) chia x-2 dư 21

=>f(2)=21

Thay x=2 vào \(f\left(x\right)=Q\left(x\right)\left(x-2\right)\left(x^2+2\right)+ax^2+bx+c\) , ta được:

\(f\left(2\right)=q\left(2\right)\left(2-2\right)\left(x^2+2\right)+a\cdot2^2+b\cdot2+c\)

=>4a+2b+c=21

\(f\left(x\right)=Q\left(x\right)\left(x-2\right)\left(x^2+2\right)+ax^2+bx+c\)

\(=Q\left(x\right)\left(x-2\right)\left(x^2+2\right)+ax^2+2a+bx+c-2a\)

\(=\left(x^2+2\right)\left\lbrack Q\left(x\right)\left(x-2\right)+a\right\rbrack+bx+c-2a\)

f(x) chia \(x^2+2\) dư 2x-1 nên bx+c-2a=2x-1

=>b=2 và c-2a=-1

4a+2b+c=21

=>4a+4+c=21

=>4a+c=17

mà c-2a=-1

nên 4a+c-c+2a=17+1

=>6a=18

=>a=3

c-2a=-1

=>2a=c+1

=>c+1=6

=>c=5

Vậy: Đa thức dư là \(B\left(x\right)=3x^2+2x+5\)

f(x) chia \(x^2+2\) dư 2x-1

Lời giải:
Gọi dư khi chia $f(x)$ cho $(x-1)(x+2)$ là $ax+b$ (dư phải có bậc nhỏ hơn đa thức chia) 

Khi đó:
$f(x)=5x^2(x-1)(x+2)+ax+b$

Ta có:
$f(1)=a+b=4\Rightarrow a=4-b$

$f(-2)=-2a+b=1$

Thay $a=4-b$ thì: $-2(4-b)+b=1$

$\Rightarrow -8+2b+b=1$

$\Rightarrow 3b=9\Rightarrow b=3$

$a=4-b=4-3=1$

Vậy $f(x)=5x^2(x-1)(x+2)+x+3$

Vì \(\left(x-2\right)\left(x^2+3\right)=x^3-2x^2+3x-6\) có bậc 3

nên đa thức dư khi chia f(x) cho \(\left(x-2\right)\left(x^2+3\right)\) sẽ có dạng là \(A\left(x\right)=a\cdot x^2+bx+c\)

Gọi đa thức thương là P(x)

f(x) chia x-2 dư 6 nên f(2)=6

Đa thức thương là P(x), đa thức dư là A(x)

Do đó, ta có: \(f\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x^2+3\right)\cdot P\left(x\right)+ax^2+bx+c\)

f(2)=6

=>\(\left(2-2\right)\cdot\left(2^2+3\right)\cdot P\left(2\right)+a\cdot2^2+b\cdot2+c=6\)

=>4a+2b+c=6

\(f\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x^2+3\right)\cdot P\left(x\right)+ax^2+bx+c\)

\(=\left(x-2\right)\left(x^2+3\right)\cdot P\left(x\right)+ax^2+3a+bx+c-3a\)

\(=\left(x^2+3\right)\left\lbrack P\left(x\right)\cdot\left(x-2\right)+a\right\rbrack+bx+c-3a\)

f(x) chia x^2+3 dư 3x+2 nên bx+c-3a=3x+2

=>b=3; c-3a=2

4a+2b+c=6

=>4a+6+c=6

=>4a+c=0

=>c=-4a

c-3a=2

=>-4a-3a=2

=>-7a=2

=>\(a=-\frac27\)

=>\(c=-4\cdot\frac{-2}{7}=\frac87\)

Vậy: Đa thức dư là \(-\frac27x^2+3x-\frac87\)

Theo đề thì bạn chỉ tính được tổng $a+b$ thôi chứ sẽ không tính được cụ thể giá trị $a,b$.

f(x) chia hết cho x-2 nên f(x) = (x-2).g(x)

\(\Rightarrow f\left(2\right)=8+4a+2b+c=0\)

\(f\left(x\right)=\left(x^2-1\right).h\left(x\right)+2x\)

\(\Rightarrow f\left(1\right)=\left(1^2-1\right).h\left(x\right)+2=2=1+a+b+c\)

\(f\left(-1\right)=-2=1+a-b+c\)

Giải hệ 3 phương trình tìm được a,b,c

Do bậc của đa thức chia là 2 nên da thức dư có bậc cao nhất là 1 hay

f(x) = (x² - 5x + 6)(1 - x²) + ax + b

f(x) chia cho x - 2 dư 2 nên áp dụng định lý bê du ta có khi x = 2 thì f(x) = 2

 2a + b = 2

Tương tự chia cho x - 3 dư 7

=> f(3) = 3a + b = 7

=> a = 5, b = - 8

Thế vô là tìm được f(x)