-11/abc 

Bài 1: 

Kẻ \(OM\perp AB\), \(OM\)cắt \(CD\)tại \(N\).

Khi đó \(MN=8cm\).

TH1: \(AB,CD\)nằm cùng phía đối với \(O\).

\(R^2=OC^2=ON^2+CN^2=h^2+\left(\frac{25}{2}\right)^2\)(\(h=CN\)) (1)

\(R^2=OA^2=OM^2+AM^2=\left(h+8\right)^2+\left(\frac{15}{2}\right)^2\)(2) 

Từ (1) và (2) suy ra \(R=\frac{\sqrt{2581}}{4},h=\frac{9}{4}\).

TH2: \(AB,CD\)nằm khác phía với \(O\).

\(R^2=OC^2=ON^2+CN^2=h^2+\left(\frac{25}{2}\right)^2\)(\(h=CN\)) (3)

\(R^2=OA^2=OM^2+AM^2=\left(8-h\right)^2+\left(\frac{15}{2}\right)^2\)(4)

Từ (3) và (4) suy ra \(R=\frac{\sqrt{2581}}{4},h=\frac{-9}{4}\)(loại).

Bài 3: 

Lấy \(A'\)đối xứng với \(A\)qua \(Ox\), khi đó \(A'\)có tọa độ là \(\left(1,-2\right)\).

\(MA+MB=MA'+MB\ge A'B\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(M\)là giao điểm của \(A'B\)với trục \(Ox\).

Suy ra \(M\left(\frac{5}{3},0\right)\).

\(\left(d\right):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)\(\left(1\right)\)

Thế \(x=a,y=0\)vào phương trình \(\left(1\right)\)thỏa mãn nên \(A\left(a,0\right)\)thuộc \(\left(d\right)\).

Thế \(x=0,y=b\)vào phương trình \(\left(1\right)\)thỏa mãn nên \(B\left(0,b\right)\)thuộc \(\left(d\right)\).

Do đó ta có đpcm. 

a, \(P=\frac{a^3-a+2b-\frac{b^2}{a}}{\left(1-\sqrt{\frac{a+b}{a^2}}\right)\left(a+\sqrt{a+b}\right)}:\left[\frac{a^2\left(a+b\right)+a\left(a+b\right)}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}+\frac{b}{a-b}\right]\)

\(=\frac{\frac{a^4-a^2-2ab-b^2}{a}}{\frac{\left(a-\sqrt{a+b}\right)\left(a+\sqrt{a+b}\right)}{a}}:\left[\frac{\left(a+b\right)\left(a^2+a\right)}{\left(a+b\right)\left(a-b\right)}+\frac{b}{a-b}\right]\)

\(=\frac{a^4-a^2-2ab-b^2}{a^2-a-b}:\frac{a^2+a+b}{a-b}\)

\(=\frac{a^4-a^2-2ab-b^2}{a^2-\left(a+b\right)}.\frac{a-b}{a^2+\left(a+b\right)}\)

\(=\frac{\left(a^4-a^2-2ab-b^2\right).\left(a-b\right)}{a^4-\left(a+b\right)^2}=\frac{\left[a^4-\left(a+b\right)^2\right].\left(a-b\right)}{a^4-\left(a+b\right)^2}=a-b\)

b, Có \(P=a-b=1\)\(\Rightarrow a=1+b\)

\(a^3-b^3=7\Leftrightarrow\left(a^2+ab+b^2\right)\left(a-b\right)=7\)

\(\Rightarrow a^2+ab+b^2=7\)

\(\Leftrightarrow\left(1+b\right)^2+\left(1+b\right)b+b^2=7\)

\(\Leftrightarrow b^2+2b+1+b^2+b+b^2=7\)

\(\Leftrightarrow3b^2+3b-6=0\)

Bạn tự giải phương trình tìm b => a

Bài 2 :

\(a,y=\left(m+1\right)x-2m-5\) \(\Leftrightarrow\left(m+1\right)x-2m-5-y=0\)

\(\Leftrightarrow mx+x-2m-5-y=0\)\(\Leftrightarrow m\left(x-2\right)+x-y-5=0\)

Có y luôn qua điểm A cố định với A( x₀ ; y₀ ) \(\orbr{\begin{cases}x_0-2=0\\x_0-y_0-5=0\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x_0=2\\y_0=-3\end{cases}}\)

=> A( 2;-3)

Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O xuống d => \(OH\le OA\)

\(OH_{max}=OA\)khi \(H\equiv A\)\(\left(d\perp OA\right)\)

=> đường thẳng OA qua O( 0;0 ) và A( 2;-3 ) => \(y=-\frac{3}{2}x\)

\(\Rightarrow d\perp OA\)=> hệ số góc \(m.\) \(-\frac{3}{2}=-1\Rightarrow m=\frac{2}{3}\)

b, \(y=0\Rightarrow\left(m+1\right)x-2m-5=0\)\(\Rightarrow x=\frac{2m+5}{m+1}\)\(\Rightarrow A\left(\frac{2m+5}{m+1};0\right)\)

\(x=0\Rightarrow y=-2m-5\Rightarrow B\left(0;-2m-5\right)\)

\(\Rightarrow OA=\sqrt{\frac{2m+5}{m+1}};OB=\sqrt{-2m-5}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}.OA.OB=\frac{3}{2}\Rightarrow OA.OB=3\)

\(\Rightarrow\left(OA.OB\right)^2=9\Rightarrow\frac{\left(2m+5\right)^2}{m+1}=9\)

\(\Rightarrow4m^2+20m+25-9m-9=\)

\(\Rightarrow4m^2+11m+16=0\)