Xét trường hợp D nằm ngoài OC (trường hợp còn lại em tự xét).

a.

Do đường tròn đường kính OA cắt OC tại D nên ∠ADO là góc nt chắn nửa đường tròn

\(\Rightarrow\angle ADO=90^0\Rightarrow\angle ADC=90^0\)

=>D thuộc đường tròn đường kính AC (1)

Do CH⊥AB tại H nên \(\angle AHC=90^0\Rightarrow\) H thuộc đường tròn đường kính AC (2)

(1),(2) =>4 điểm A,C,D,H đồng viên

b.

Do A,C,D,H đồng viên (cmt) nên ∠ACD=∠AHD (cùng chắn AD) (3)

Lại có OA=OC (cùng là bán kính của (O)) =>ΔOAC cân tại O

=>∠ACD=∠CAO (4)

(3),(4) =>∠AHD=∠CAO

=>HD song song AC (hai góc so le trong bằng nhau)

Đề bài mờ quá em, ko đọc được gì cả

a. xét △ BIA và △ BAC có:

góc BIA = góc BAC = 90 độ

góc IAB = góc ACB (cùng phụ với góc B)

⇒ △ BIA ~ △ BAC (g-g)

\(\Rightarrow\frac{AB}{IB}=\frac{BC}{AB}\Rightarrow AB^2=IB\cdot BC\)

b. xét △ BIA và △ AIC ta có:

góc BIA = góc AIC = 90 độ

góc IAB = góc ICA (cùng phụ với góc B)

⇒ △ BIA ~ △ AIC (g-g)

\(\Rightarrow\frac{IA}{IB}=\frac{IC}{IA}\Rightarrow IA^2=IB\cdot IC\)

c. áp dụng định lý pythagore vào △ ABC vuông tại A ta có:

\(AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{26^2-10^2}=24\left(\operatorname{cm}\right)\)

ta có: AB.AC = BC.AI

\(\Rightarrow AI=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{24\cdot10}{26}=\frac{120}{13}\left(\operatorname{cm}\right)\)

△ ABC vuông tại A có:

\(\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{10}{26}\Rightarrow\) góc B ≈ 23⁰

⇒ góc C = 90⁰ - 23⁰ = 67⁰

d. xét tứ giác AHIK có:

góc BAC = góc AHI = góc IKA = 90 độ

⇒ tứ giác AHIK là hình chữ nhật

⇒ AI = HK = \(\frac{120}{13}\left(\operatorname{cm}\right)\)

e. xét △ AKI và △ AIC ta có:

góc AKI = góc AIC = 90 độ

góc AIK = góc ACI (cùng phụ với góc IAK)

⇒ △ AKI ~ △ AIC (g-g)

⇒ \(\frac{AK}{AI}=\frac{AI}{AC}\Rightarrow AI^2=AK\cdot AC\) (1)

áp dụng định lý pythagore vào △ AIB vuông tại I ta có:

\(AI^2=AB^2-BI^2\) (2)

TỪ (1) và (2) ⇒ \(AK\cdot AC=AB^2-BI^2\)

gọi O là giao điểm của đường chéo HK và AI

AHIK là hình chữ nhật ⇒ OH = OA

⇒ △ OHA cân tại O

⇒ góc OHA = góc OAH

xét △ AHK và △ ACB ta có:

góc A chung

góc AHK = góc ACB (cùng bằng HAO)

⇒ △ AHK ~ △ ACB (g-g)

f. vì góc ACB = góc IAB (câu a)

nên \(\cot ACB=\cot IAB=\frac{AH}{HI}\) (3)

mà góc AHO = góc IAB (câu e)

\(\Rightarrow\cot IAB=\cot AHO=\frac{AH}{AK}\) (4)

từ (3) và (4) \(\frac{AH}{HI}=\frac{AH}{AK}\)

mà HI = AK (tứ giác AHIK là hình chữ nhật)

\(\Rightarrow\cot ACB=\frac{AH}{AK}\Rightarrow AH=AK\cdot\cot ACB\) (đpcm)

https://www.mediafire.com/view/081yqwybhunkx2n/4775e38e-3527-4b6b-b173-16c028c7b87b.jfif/file

link hình ảnh, mình không up ảnh lên được

a. xét △ BIA và △ BAC có:

góc BIA = góc BAC = 90 độ

góc IAB = góc ACB (cùng phụ với góc B)

⇒ △ BIA ~ △ BAC (g-g)

\(\Rightarrow\frac{AB}{IB}=\frac{BC}{AB}\Rightarrow AB^2=IB\cdot BC\)

b. xét △ BIA và △ AIC ta có:

góc BIA = góc AIC = 90 độ

góc IAB = góc ICA (cùng phụ với góc B)

⇒ △ BIA ~ △ AIC (g-g)

\(\Rightarrow\frac{IA}{IB}=\frac{IC}{IA}\Rightarrow IA^2=IB\cdot IC\)

c. áp dụng định lý pythagore vào △ ABC vuông tại A ta có:

\(AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{26^2-10^2}=24\left(\operatorname{cm}\right)\)

ta có: AB.AC = BC.AI

\(\Rightarrow AI=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{24\cdot10}{26}=\frac{120}{13}\left(\operatorname{cm}\right)\)

△ ABC vuông tại A có:

\(\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{10}{26}\Rightarrow\) góc B ≈ 23⁰

⇒ góc C = 90⁰ - 23⁰ = 67⁰

d. xét tứ giác AHIK có:

góc BAC = góc AHI = góc IKA = 90 độ

⇒ tứ giác AHIK là hình chữ nhật

⇒ AI = HK = \(\frac{120}{13}\left(\operatorname{cm}\right)\)

e. xét △ AKI và △ AIC ta có:

góc AKI = góc AIC = 90 độ

góc AIK = góc ACI (cùng phụ với góc IAK)

⇒ △ AKI ~ △ AIC (g-g)

⇒ \(\frac{AK}{AI}=\frac{AI}{AC}\Rightarrow AI^2=AK\cdot AC\) (1)

áp dụng định lý pythagore vào △ AIB vuông tại I ta có:

\(AI^2=AB^2-BI^2\) (2)

TỪ (1) và (2) ⇒ \(AK\cdot AC=AB^2-BI^2\)

gọi O là giao điểm của đường chéo HK và AI

AHIK là hình chữ nhật ⇒ OH = OA

⇒ △ OHA cân tại O

⇒ góc OHA = góc OAH

xét △ AHK và △ ACB ta có:

góc A chung

góc AHK = góc ACB (cùng bằng HAO)

⇒ △ AHK ~ △ ACB (g-g)

f. vì góc ACB = góc IAB (câu a)

nên \(\cot ACB=\cot IAB=\frac{AH}{HI}\) (3)

mà góc AHO = góc IAB (câu e)

\(\Rightarrow\cot IAB=\cot AHO=\frac{AH}{AK}\) (4)

từ (3) và (4) \(\frac{AH}{HI}=\frac{AH}{AK}\)

mà HI = AK (tứ giác AHIK là hình chữ nhật)

\(\Rightarrow\cot ACB=\frac{AH}{AK}\Rightarrow AH=AK\cdot\cot ACB\) (đpcm)

https://www.mediafire.com/view/081yqwybhunkx2n/4775e38e-3527-4b6b-b173-16c028c7b87b.jfif/file

link hình ảnh, mình không up ảnh lên được

ABCD là hình vuông

mà O là giao điểm của hai đường chéo

nên AC⊥BD tại O; O là trung điểm chung của AC và BD; AC=BD

=>\(OA=OB=OC=OD=\frac{AC}{2}\)

=>\(AC=2\cdot AO=2\cdot2\sqrt2=4\sqrt2\) >4

=>C nằm ngoài (A;4cm)

Ta có: OA=OB=OD

mà \(OA=2\sqrt2\)

nên \(OB=OD=2\sqrt2\)

ΔOAB vuông tại O

=>\(OA^2+OB^2=AB^2\)

=>\(AB^2=\left(2\sqrt2\right)^2+\left(2\sqrt2\right)^2=8+8=16=4^2\)

=>AB=4(cm)

=>B nằm trên (A;4cm)

Ta có: ABCD là hình vuông

=>AB=AD=4cm

=>D nằm trên (A;4cm)