S A B C D H E K F

Ta có

\(SH\perp\left(ABCD\right);SH\in\left(SBD\right)\Rightarrow\left(SBD\right)\perp\left(ABCD\right)\)

Trong mp (ABCD) từ C dựng đường thẳng vuông góc với BD cắt BD tại F ta có

\(SH\perp\left(ABCD\right);CF\in ABCD\Rightarrow SH\perp CF\)

Mà \(CF\perp BD\)

Ta có \(BD\in\left(SBD\right);SH\in\left(SBD\right)\)

\(\Rightarrow CF\perp\left(SBD\right)\) => CF là khoảng cách từ C đến (SBD)

Trong mp (ABCD) nối CH cắt AD tại E

Ta có BC//AD \(\Rightarrow\dfrac{BC}{ED}=\dfrac{HB}{HD}=\dfrac{HC}{HE}=1\Rightarrow ED=BC=\dfrac{3a}{2}\)

\(\Rightarrow EA=AD-ED=3a-\dfrac{3a}{2}=\dfrac{3a}{2}=BC\)

Mà BC//AE và \(\widehat{ABC}=90^o\)

=> ABCE là hình chữ nhật 

Trong mp (ABCD) từ H dựng đường thẳng vuông góc với CD cắt CD tại K

Xét tg vuông CDE có

\(CD=\sqrt{CE^2+ED^2}=\sqrt{4a^2+\dfrac{9a^2}{4}}=\dfrac{5a}{2}\)

Xét tg vuông ABD có

\(BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4a^2+9a^2}=a\sqrt{13}\)

\(\Rightarrow HB=HD=\dfrac{BD}{2}=\dfrac{a\sqrt{13}}{2}\)

Xét tg vuông CKH và tg vuông CED có \(\widehat{ECD}\) chung

=> tg CKH đồng dạng với tg CED (g.g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{CK}{CE}=\dfrac{HC}{CD}\Rightarrow CK=\dfrac{CE.HC}{CD}=\dfrac{2a.a}{\dfrac{5a}{2}}=\dfrac{4a}{5}\)

Xét tg vuông CKH có

\(HK=\sqrt{HC^2-CK^2}=\sqrt{a^2-\dfrac{16a^2}{25}}=\dfrac{3a}{5}\)

Xét tg vuông DKH và tg vuông DFC có \(\widehat{BDC}\) chung

=> tg DKH đồng dạng với tg DFC (g.g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{HK}{CF}=\dfrac{HD}{CD}\Rightarrow CF=\dfrac{HK.CD}{HD}=\dfrac{\dfrac{3a}{5}.\dfrac{5a}{2}}{\dfrac{a\sqrt{13}}{2}}=\dfrac{3a\sqrt{13}}{13}\)

Ta có \(\frac{d\left(A,\left(SCD\right)\right)}{d\left(M,\left(SCD\right)\right)}=2\Rightarrow d=\left(m,\left(SCD\right)\right)=\frac{1}{2}d\left(A,\left(SCD\right)\right)\)

Dễ thấy AC _|_ CD, SA _|_ CD dựng AH _|_ SA => AH _|_ (SCD)

Vậy d(A,(SCD))=AH

Xét tam giác vuông SAC (A=1v) có \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AC^2}+\frac{1}{AS^2}\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)

Vậy suy ra \(d\left(M,\left(SCD\right)\right)=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)

$E=AB\cap CD,G=EN\cap SB\Rightarrow G$ là trọng tâm tam giác SAE.

$d\left(M,\left(NCD\right)\right)=\frac{GM}{GB}d\left(B,\left(NCD\right)\right)=\frac{1}{2}d\left(B,\left(NCD\right)\right)=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}d\left(A,\left(NCD\right)\right)=\frac{1}{4}d\left(A,\left(NCD\right)\right)=\frac{}{}$

Đáp án B

Ta có d(K;(SCD))

Ta có 

Có góc giữa SC và đáy là  nên ta có 

Ta có 

Chọn hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$

Điểm $H \in AB$ sao cho $HB = 2HA \Rightarrow HA = \dfrac{a}{3}$ ⇒ $H\left(\dfrac{a}{3},0,0\right)$

Vì $H$ là hình chiếu của $S$ nên đặt:

$S\left(\dfrac{a}{3},0,h\right)$

Xét cạnh $SC$:

$\vec{SC} = \left(a - \dfrac{a}{3}, a - 0, -h\right) = \left(\dfrac{2a}{3}, a, -h\right)$

Góc giữa $SC$ và đáy là $60^\circ$:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SH}{SC} = \dfrac{h}{\sqrt{\left(\dfrac{2a}{3}\right)^2 + a^2 + h^2}}$

$\Rightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{\dfrac{4a^2}{9} + a^2 + h^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{\dfrac{13a^2}{9} + h^2}}$

Giải ra:

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\dfrac{13a^2}{9} + h^2} \Rightarrow 3\left(\dfrac{13a^2}{9} + h^2\right) = 4h^2$

$\Rightarrow \dfrac{13a^2}{3} + 3h^2 = 4h^2 \Rightarrow h^2 = \dfrac{13a^2}{3} \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt{13}}{\sqrt{3}}$

Trung điểm $K$ của $HC$:

$K\left(\dfrac{\frac{a}{3} + a}{2}, \dfrac{0 + a}{2}, 0\right) = \left(\dfrac{2a}{3}, \dfrac{a}{2}, 0\right)$

Mặt phẳng $(SCD)$:

$\vec{SC} = \left(\dfrac{2a}{3}, a, -h\right),\quad \vec{SD} = \left(-\dfrac{a}{3}, a, -h\right)$

Pháp tuyến:

$\vec{n} = \vec{SC} \times \vec{SD} = (0, ah, a^2)$

Phương trình mặt phẳng $(SCD)$:

$0(x - \dfrac{a}{3}) + ah(y - 0) + a^2(z - h) = 0 \Rightarrow h y + a(z - h) = 0$

$\Rightarrow hy + az - ah = 0$

Khoảng cách từ $K$ đến $(SCD)$:

$d = \dfrac{|h \cdot \dfrac{a}{2} + a \cdot 0 - ah|}{\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{\left| \dfrac{ah}{2} - ah \right|}{\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{\dfrac{ah}{2}}{\sqrt{h^2 + a^2}}$

Thay $h^2 = \dfrac{13a^2}{3}$:

$d = \dfrac{a \cdot \dfrac{a\sqrt{13}}{\sqrt{3}}}{2 \sqrt{\dfrac{13a^2}{3} + a^2}} = \dfrac{a^2\sqrt{13/3}}{2 \cdot a\sqrt{16/3}} = \dfrac{a\sqrt{13}}{8}$

ĐÁP ÁN C

Chọn hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$

Điểm $H \in AB$ sao cho $HB = 2HA \Rightarrow HA = \dfrac{a}{3}$ ⇒ $H\left(\dfrac{a}{3},0,0\right)$

Vì $H$ là hình chiếu của $S$ nên đặt:

$S\left(\dfrac{a}{3},0,h\right)$

Xét cạnh $SC$:

$\vec{SC} = \left(a - \dfrac{a}{3}, a - 0, -h\right) = \left(\dfrac{2a}{3}, a, -h\right)$

Góc giữa $SC$ và đáy là $60^\circ$:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SH}{SC} = \dfrac{h}{\sqrt{\left(\dfrac{2a}{3}\right)^2 + a^2 + h^2}}$

$\Rightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{\dfrac{4a^2}{9} + a^2 + h^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{\dfrac{13a^2}{9} + h^2}}$

Giải ra: $\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\dfrac{13a^2}{9} + h^2} \Rightarrow 3\left(\dfrac{13a^2}{9} + h^2\right) = 4h^2$

$\Rightarrow \dfrac{13a^2}{3} + 3h^2 = 4h^2 \Rightarrow h^2 = \dfrac{13a^2}{3} \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt{13}}{\sqrt{3}}$

Trung điểm $K$ của $HC$:

$K\left(\dfrac{\frac{a}{3} + a}{2}, \dfrac{0 + a}{2}, 0\right) = \left(\dfrac{2a}{3}, \dfrac{a}{2}, 0\right)$

Mặt phẳng $(SCD)$:

$\vec{SC} = \left(\dfrac{2a}{3}, a, -h\right),\quad \vec{SD} = \left(-\dfrac{a}{3}, a, -h\right)$

Pháp tuyến:

$\vec{n} = \vec{SC} \times \vec{SD} = (0, ah, a^2)$

Phương trình mặt phẳng $(SCD)$:

$0(x - \dfrac{a}{3}) + ah(y - 0) + a^2(z - h) = 0 \Rightarrow h y + a(z - h) = 0$

$\Rightarrow hy + az - ah = 0$

Khoảng cách từ $K$ đến $(SCD)$:

$d = \dfrac{|h \cdot \dfrac{a}{2} + a \cdot 0 - ah|}{\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{\left| \dfrac{ah}{2} - ah \right|}{\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{\dfrac{ah}{2}}{\sqrt{h^2 + a^2}}$

Thay $h^2 = \dfrac{13a^2}{3}$:

$d = \dfrac{a \cdot \dfrac{a\sqrt{13}}{\sqrt{3}}}{2 \sqrt{\dfrac{13a^2}{3} + a^2}} = \dfrac{a^2\sqrt{13/3}}{2 \cdot a\sqrt{16/3}} = \dfrac{a\sqrt{13}}{8}$

3+? =2 trả lời đc thì giải đc

Đáp án B.

Ta có AD//BC, => AD//(SBC)

=> d(AD;SC) = d(AD;(SBC)) = d(D;(SBC)).

Qua I kẻ đường thẳng song song với AD, cắt CD tại H.

Suy ra IH ⊥ CD

Từ CD ⊥ IH, CD ⊥ SI=> CD ⊥ (SIH)=> CD ⊥ SH

Suy ra 

Lại có 

Từ 

Suy ra 

Từ (1) và (2), suy ra 

Vậy 

Chọn hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$

Điểm $I \in AB$ sao cho $BI = 2AI \Rightarrow AI = \dfrac{a}{3}$ ⇒ $I\left(\dfrac{a}{3},0,0\right)$

Vì $I$ là hình chiếu của $S$ nên đặt:

$S\left(\dfrac{a}{3},0,h\right)$

Xét mặt phẳng $(SCD)$, góc giữa $(SCD)$ và đáy là $60^\circ$ ⇒ góc giữa $SC$ và hình chiếu của nó lên đáy là $60^\circ$:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SI}{SC} = \dfrac{h}{\sqrt{\left(a - \dfrac{a}{3}\right)^2 + a^2 + h^2}}$

$\Rightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{\dfrac{4a^2}{9} + a^2 + h^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{\dfrac{13a^2}{9} + h^2}}$

Giải ra:

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\dfrac{13a^2}{9} + h^2} \Rightarrow 3\left(\dfrac{13a^2}{9} + h^2\right) = 4h^2$

$\Rightarrow \dfrac{13a^2}{3} + 3h^2 = 4h^2 \Rightarrow h^2 = \dfrac{13a^2}{3} \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt{13}}{\sqrt{3}}$

Xét hai đường thẳng:

- $AD$: vectơ chỉ phương $\vec{u} = (0,a,0)$

- $SC$: vectơ chỉ phương $\vec{v} = \left(\dfrac{2a}{3}, a, -h\right)$

Chọn $\vec{AS} = \left(\dfrac{a}{3},0,h\right)$

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau:

$d = \dfrac{|[\vec{AS}, \vec{u}, \vec{v}]|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$

Tính tích có hướng:

$\vec{u} \times \vec{v} = (0,a,0) \times \left(\dfrac{2a}{3}, a, -h\right) = (-ah, 0, -\dfrac{2a^2}{3})$

$|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{a^2h^2 + \dfrac{4a^4}{9}} = a\sqrt{h^2 + \dfrac{4a^2}{9}}$

Tích hỗn tạp:

$[\vec{AS}, \vec{u}, \vec{v}] = \left|\begin{matrix}\dfrac{a}{3} & 0 & h \0 & a & 0 \\dfrac{2a}{3} & a & -h\end{matrix}\right| = -\dfrac{ah^2}{3} + \dfrac{2a^3}{3}$

Thay $h^2 = \dfrac{13a^2}{3}$:

$[\cdot] = -\dfrac{a}{3}\cdot \dfrac{13a^2}{3} + \dfrac{2a^3}{3} = \dfrac{a^3}{9}$

Suy ra:

$d = \dfrac{\dfrac{a^3}{9}}{a\sqrt{\dfrac{13a^2}{3} + \dfrac{4a^2}{9}}} = \dfrac{a^2/9}{a\sqrt{\dfrac{43a^2}{9}}} = \dfrac{a}{3\sqrt{43}}$

Rút gọn:

$d = \dfrac{a\sqrt{93}}{31}$

Đáp án C

Gọi M là trung điểm của CD. Kẻ HK vuông góc với SM.

Ta có: 

Mặt khác ta có HK ⊥ SM

Suy ra HK ⊥ (SCD)

Vậy 

Xét tam giác BHC vuông tại B, ta có:

Xét tam giác SHM vuông tại H, ta có: 

Chọn hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(2a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(2a,a,0)$

Trung điểm $H$ của $AB$: $H(a,0,0)$

Vì $H$ là hình chiếu của $S$ nên đặt:

$S(a,0,h)$

Xét cạnh $SC$:

$\vec{SC} = (2a-a,\ a-0,\ -h) = (a,a,-h)$

Góc giữa $SC$ và đáy là $45^\circ$:

$\sin 45^\circ = \dfrac{SH}{SC} = \dfrac{h}{\sqrt{a^2 + a^2 + h^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{2a^2 + h^2}}$

$\Rightarrow \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{2a^2 + h^2}}$

Giải ra:

$\dfrac{1}{2} = \dfrac{h^2}{2a^2 + h^2} \Rightarrow 2a^2 + h^2 = 2h^2 \Rightarrow h^2 = 2a^2 \Rightarrow h = a\sqrt{2}$

⇒ $S(a,0,a\sqrt{2})$

Xét mặt phẳng $(SCD)$:

$\vec{SC} = (a,a,-h),\quad \vec{SD} = (-a,a,-h)$

Pháp tuyến:

$\vec{n} = \vec{SC} \times \vec{SD} = (0, ah, 2a^2)$

Phương trình mặt phẳng $(SCD)$:

$0(x-a) + ah(y-0) + 2a^2(z-h) = 0$

$\Rightarrow hy + 2a(z-h) = 0 \Rightarrow hy + 2az - 2ah = 0$

Khoảng cách từ $A(0,0,0)$ đến mặt phẳng:

$d = \dfrac{|0 + 0 - 2ah|}{\sqrt{h^2 + (2a)^2}} = \dfrac{2ah}{\sqrt{h^2 + 4a^2}}$

Thay $h = a\sqrt{2}$:

$d = \dfrac{2a \cdot a\sqrt{2}}{\sqrt{2a^2 + 4a^2}} = \dfrac{2a^2\sqrt{2}}{a\sqrt{6}} = \dfrac{2a\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \dfrac{2a}{\sqrt{3}} = \dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$

????